іввідношення 2Ф (t)=0,95 отримаємо Ф (t)=0,475. По таблиці знаходимо t=1,96.
Знайдемо точність оцінки:
точність довірчий інтервал вимір
d=t (s / n ^?)=(1, 96. 3) / / 36=0,98.
Довірчий інтервал такий: (`х - 0,98;` х + 0,98). Наприклад, якщо `х=4,1, то довірчий інтервал має наступні довірчі межі:
`х - 0,98=4,1 - 0,98=3,12; `Х + 0,98=4,1 + 0,98=5,08.
Таким чином, значення невідомого параметра а, узгоджувалися з даними вибірки, задовольняють нерівності 3,12 < а < 5,08. Підкреслимо, що було б помилковим написати Р (3,12 <а <5,08)=0,95. Дійсно, так як а - постійна величина, то або вона укладена в знайденому інтервалі (тоді подія 3,12 <а <5,08 достовірно і його ймовірність дорівнює одиниці), або в ньому не укладена (у цьому випадку подія 3, 12 <а <5,08 неможливо і його ймовірність дорівнює нулю). Іншими словами, довірчу ймовірність не слід пов'язувати з оцінюваним параметром; вона пов'язана лише з межами довірчого інтервалу, які, як вже було зазначено, змінюються від вибірки до вибірки.
Пояснимо сенс, який має задана надійність. Надійність g=0,95 вказує, що якщо вироблено досить велике число вибірок, то 95% з них визначає такі довірчі інтервали, в яких параметр дійсно укладено; лише в 5% випадків він може вийти за межі довірчого інтервалу.
Якщо потрібно оцінити математичне сподівання з наперед заданою точністю d і надійністю g, то мінімальний обсяг вибірки, який забезпечить цю точність, знаходять за формулою
N=t ^ 2 s ^ 2 / d ^ 2
Довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при невідомому s
інтервальних оцінкою з надійністю g математичного сподівання а нормально розподіленої кількісної ознаки Х по вибіркової середньої `х при невідомому середньому квадратичному відхиленні s генеральної сукупності служить довірчий інтервал
`х - t (g) (s / n ^?) < a < `Х + t (g) (s / n ^?),
де s - «виправлене» вибіркове середньоквадратичне відхилення, t (g) знаходять за таблицею по заданих g і n.
Приклад. Кількісний ознака X генеральної сукупності розподілений нормально. За вибіркою обсягу n=16 знайдені вибіркова середня `x=20,2 і« виправлене »середнє квадратичне відхилення s=0,8. Оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою довірчого інтервалу з надійністю 0,95.
Рішення. Знайдемо t (g). Користуючись таблицею, по g=0,95 і n=16 знаходимо t (g)=2,13.
Знайдемо довірчі межі:
`х - t (g) (s / n ^?)=20,2 - 2,13 *. 0, 8/16 ^? =19,774
`х + t (g) (s / n ^?)=20,2 + 2,13 * 0, 8/16 ^? =20,626
Отже, з надійністю 0,95 невідомий параметр а укладений в довірчому інтервалі 19,774 < а < 20,626
Оцінка істинного значення вимірюваної величини
Нехай робиться n незалежних равноточних вимірювань деякої фізичної величини, справжнє значення а якої невідомо.
Будемо розглядати результати окремих вимірювань як випадкові величини ХL, Х2, ... Хn. Ці величини незалежні (вимірювання незалежні). М...
