о A, B і C - це матриці, причому AB=C. Елементи матриці C обчислюються наступним чином:
(i, j)=(i-й рядок A) (j-й стовпець B)
На наведеному нижче малюнку показано кілька прикладів перемноження матриць.
Якщо розглядати точки на площини як матриць розміром 1? 2, ці точки можна піддавати перетворенням, множачи їх матриці на матрицю розміром 2? 2. На наведеному нижче малюнку зображені результати застосування різних перетворень до точці з координатами (2, 1).
Усі перетворення, показані на наведеному раніше малюнку, є лінійними перетвореннями. Деякі інші перетворення, такі як зрушення, не є лінійними і не можуть бути здійснені шляхом множення на матрицю розміром 2? 2. Припустимо, що потрібно взяти точку з координатами (2, 1), повернути її на 90 градусів відносно початку координат, зрушити на 3 одиниці уздовж осі X і на 4 одиниці уздовж осі Y. Таке перетворення можна виконати шляхом виконання множення і складання матриць.
Лінійне перетворення (множення на матрицю розміром 2? 2) і зрушення (додаток матриці розміром 1? 2), разом називаються аффінним перетворенням. Альтернативою завданням афінної перетворення через пару матриць (одна для лінійного перетворення і одна для зсуву) є запис усього перетворення у вигляді однієї матриці розміром 3? 3. Щоб можна було використовувати такі матриці перетворень, точки площині потрібно зберігати у вигляді матриць розміром 1? 3, з фіктивною третій координатою. Зазвичай третю координату роблять рівною 1. Наприклад, крапка з координатами (2, 1) представляється матрицею [2 1 1]. На наведеному нижче малюнку представлений приклад афінної перетворення (поворот на 90 градусів; зрушення на 3 одиниці по осі X і на 4 одиниці по осі Y), заданого множенням на матрицю розміром 3? 3.
У попередньому прикладі точка (2, 1) перетворюється в точку (2, 6). Зверніть увагу, що третій стовпець матриці розміром 3? 3 містить числа 0, 0, 1.Таким значення обов'язкові для всіх матриць розміром 3? 3, які задають аффінниє перетворення. Смислове навантаження несуть тільки шість чисел в першому і другому стовпцях матриці перетворення. Верхня ліва частина матриці розміром 2? 2 задає лінійну частину перетворення, а перші два числа в третьому рядку матриці задають зсув.
Інтерфейс GDI + дозволяє зберігати аффінниє перетворення в об'єкті Matrix lt; # justify gt; Складовим перетворенням називається серія послідовно застосовуваних перетворень. Розглянемо наступні матриці і перетворення:
Матриця AПоворот на 90 градусов.Матріца BМасштабірованіе по осі X з коефіцієнтом 2.Матріца CСдвіг на три одиниці по осі Y.
Якщо взяти матричне подання для точки з координатами (2, 1) - [2 1 1] - і послідовно помножити його на матрицю A, потім на B, а потім на C, точка (2, 1 ) послідовно піддасться трьом відповідним перетворенням.
[2 Будiвництво 1 1] ABC=[- 2 5 1]
Замість того щоб зберігати три частини складеного перетворення в окремих матрицях, можна перемножити матриці A, B і C і отримати одну матрицю розміром 3? 3, що вміщує всі складене перетворення. Припустимо, що ABC=D. Тоді точка, помножена на матрицю D, піддається тим же перетворенням, що і після послідовного множення на матриці A, B і C.
[2 Будiвництво 1 1] D=[- 2 5 1]
На наведеному нижче малюнку показані матриці A, B, C і D.
Той факт, що матриця складеного перетворення може бути створена шляхом перемноження окремих матриць перетворення, означає, що будь-яка послідовність афінних перетворень може бути задана одним об'єктом Matrix lt; # 68 src= doc_zip11.jpg / gt;
Афінний перетворення і його матричне подання
Матриця переміщення
Ми можемо перемістити вектор (x, y, z, 1) на px одиниць по осі Х, py одиниць по осі Y і pz одиниць по осі Z помноживши його на наступну матрицю:
Переміщення на 12 одиниць по осі X і на - 10 одиниць по осі Y
Для створення матриці переміщення в бібліотеці D3DX використовується наступна функція: DXMATRIX * D3DXMatrixTranslation (DXMATRIX * pOut,//Результатx,//Кількість одиниць для переміщення по осі Xy,//Кількість одиниць для переміщення по осі Yz// Кількість одиниць для переміщення по осі Z
);
Матриці обертання
Поворот на 30 градусів проти годинникової стрілки навколо осі Z
Використовуючи наведені нижче матриці ми можемо повернути вектор на? радіан на...
