примикають до даної (що мають з нею або загальну сторону - примикання праворуч, ліворуч, зверху і знизу, або загальну вершину - примикання по діагоналі). Гра складається з дискретної послідовності ходів. На кожному ходу до всіх клітин дошки застосовуються наступні три правила (аксіоми).
. Виживання. Клітка залишається зайнятою на наступному ходу, якщо на попередньому були зайнято дві, чи три сусідні з нею клітини.
. Загибель. Клітка стає вільною на наступному ходу, якщо на попередньому було зайнято більше трьох або менше двох сусідніх клітин (в першому випадку клітина «гине» через перенаселення, у другому - з - за надмірної ізоляції).
. Народження. Вільна клітина стає зайнятою на наступному ходу, якщо на попередньому були зайняті три і лише три сусідні клітини.
Удавана простота правил Конуея оманлива: як і прості динамічні системи, дошка з розставленими на ній фішками може перейти у вельми складні режими, що імітують процеси загибелі (повне знищення всіх розставлених в початковій позиції фішок), необмежене зростання, стійке стаціонарний стан (система з певною періодичністю в просторі), періодичні за часом осциляції [1].
2. Класифікація фракталів
Одним з основних властивостей фракталів є самоподібність. У самому простому випадку невелика частина фрактала містить інформацію про всім фрактале. Визначення фрактала, дане Мандельброт, звучить так: «фрактали називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні цілого».
На сьогоднішній день існує багато різних математичних моделей фракталів (трикутник Серпінського, сніжинка Коха, крива Пеано, безліч Мандельброта і Лоренцеве атрактори). Відмітна особливість кожної з них є те, що в їх основі лежить яка-небудь рекурсивна функція, наприклад: xi=f (xi - 1). Із застосуванням ЕОМ у дослідників з'явилася можливість отримувати графічні зображення фракталів. Найпростіші моделі не вимагають великих обчислень, тоді як інші моделі настільки вимогливі до потужності комп'ютера, що їх реалізація здійснюється із застосуванням суперЕОМ.
Для того щоб представити все різноманіття фракталів зручно вдатися до їх загальноприйнятої класифікації. Існує три класи фракталів: геометричні, алгебраїчні та стохастичні.
. Геометричні фрактали
Фрактали цього класу самі наочні. У двомірному випадку їх отримують за допомогою ламаної (або поверхні в тривимірному випадку), званої генератором. За один крок алгоритму кожен з відрізків, складових ламану, замінюється на ламану-генератор у відповідному масштабі. У результаті нескінченного повторення цієї процедури виходить геометричний фрактал.
Геометричні фрактали були відкриті на початку ХХ століття. У цей період математики шукали такі криві, які ні в одній точці не мають дотичній. Це означало, що крива різко змінює свій напрямок, і притому з колосально великою швидкістю (похідна дорівнює нескінченності). Пошуки даних кривих були викликані не просто дозвільним інтересом математиків. Справа в тому, що на початку ХХ століття дуже бурхливо розвивалася квантова механіка. Дослідник М. Броун замалював траєкторію руху зважених часток у воді і пояснив це явище так: безладно рухаються атоми рідини вдаряються об зважені частинки і тим самим приводять їх у рух. Після такого пояснення броунівського руху перед вченими постало завдання знайти таку криву, яка б найкращим чином апроксимувати рух броунівських часток. Для цього крива повинна була не мати дотичній ні в одній точці. Математик Кох запропонував одну таку криву.
тріадних крива Коха володіє рядом властивостей, що відрізняють її від раніше відомих прямих. По-перше, ця крива не має довжини, тобто з числом поколінь її довжина прагне до нескінченності. По-друге, до цієї кривої неможливо побудувати дотичну - кожна її точка є точкою перегину, в якій похідна не існує, - ця крива не гладко.
Довжина і гладкість - фундаментальні властивості кривих, які вивчаються як евклідової геометрією, так і геометрією Лобачевського, Рімана. До триадной кривої Коха традиційні методи геометричного аналізу виявилися незастосовні. Саме з цього часу вчені почали сумніватися в універсальності традиційної геометрії.
Ще один приклад простого самоподібного фрактала - килим Серпінського, придуманий польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році. У способі побудови ми починаємо з деякої області і послідовно викидаємо внутрішні підобласті.
. Алгебраїчні фрактали
Геометричні фрактали є статичними фігурами. Подібний підхід цілком прийнятний до тих пір, поки не виникає необхідність розгляду таких природних явищ, як падаючі потоки води, турбулентні завихре...
