ції.
В даний час для вирішення оптимальних задач застосовують в основному такі методи:
методи дослідження функцій класичного аналізу;
методи, засновані на використанні невизначених множників Лагранжа;
варіаційне числення;
динамічне програмування;
принцип максимуму;
лінійне програмування;
нелінійне програмування.
Останнім часом розроблений і успішно застосовується для вирішення певного класу задач метод геометричного програмування.
Як правило, не можна рекомендувати який-небудь один метод, який можна використовувати для вирішення всіх без винятку завдань, що виникають на практиці. Одні методи в цьому відношенні є більш загальними, інші - менш загальними. Нарешті, цілу групу методів (методи дослідження функцій класичного аналізу, метод множників Лагранжа, методи нелінійного програмування) на певних етапах рішення оптимальної задачі можна застосовувати в поєднанні з іншими методами, наприклад динамічним програмуванням або принципом максимуму.
Відзначимо також, що деякі методи спеціально розроблені або найкращим чином підходять для вирішення оптимальних задач з математичними моделями певного виду. Так, математичний апарат лінійного програмування, спеціально створений для вирішення завдань з лінійними критеріями оптимальності та лінійними обмеженнями на змінні і дозволяє вирішувати більшість завдань, сформульованих в такій постановці. Так само і геометричне програмування призначене для вирішення оптимальних задач, в яких критерій оптимальності та обмеження представляються спеціального виду функціями позіномамі.
Динамічне програмування добре пристосоване для вирішення завдань оптимізації багатостадійних процесів, особливо тих, в яких стан кожної стадії характеризується відносно невеликим числом змінних стану. Однак при наявності значного числа цих змінних, т. Е. При високої розмірності кожній стадії, застосування методу динамічного програмування важко внаслідок обмежених швидкодії та обсягу пам'яті обчислювальних машин.
Мабуть, найкращим шляхом при виборі методу оптимізації, найбільш придатного для вирішення відповідної задачі, слід визнати дослідження можливостей і досвіду застосування різних методів оптимізації. Нижче наводиться короткий огляд математичних методів вирішення оптимальних завдань і приклади їх використання. Тут же дана лише коротка характеристика зазначених методів і областей їх застосування, що до деякої міри може полегшити вибір того чи іншого методу для вирішення конкретної оптимальної завдання.
Методи дослідження функцій класичного аналізу являють собою найбільш відомі методи вирішення нескладних оптимальних завдань, з якими відомі з курсу математичного аналізу. Звичайною областю використання даних методів є задачі з відомим аналітичним виразом критерію оптимальності, що дозволяє знайти не дуже складне, також аналітичний вираз для похідних. Отримані прирівнянням нулю похідних рівняння, що визначають екстремальні рішення оптимальної мети, дуже рідко вдається вирішити аналітичним шляхом, тому, як, правило, застосовують обчислювальні машини. При цьому треба вирішити систему кінцевих рівнянь, найчастіше нелінійних, для чого доводиться використовувати чисельні методи, аналогічні методам нелінійного програмування.
Додаткові труднощі при вирішенні оптимальної задачі методами дослідження функцій класичного аналізу виникають внаслідок того, що система рівнянь, що отримується в результаті їх застосування, забезпечує лише необхідні умови оптимальності. Тому всі рішення даної системи (а їх може бути і декілька) повинні бути перевірені на достатність. У результаті такої перевірки спочатку відкидають рішення, які не визначають екстремальні значення критерію оптимальності, а потім серед залишених екстремальних рішень вибирають рішення, яке задовольняє умовам оптимальної задачі, тобто найбільшому або найменшому значенню критерію оптимальності залежно від постановки завдання.
Методи дослідження при наявності обмежень на область зміни незалежних змінних можна використовувати тільки для відшукання екстремальних значень усередині зазначеної області. Особливо це відноситься до завдань з великим числом незалежних змінних (практично більше двох), в яких аналіз значень критерію оптимальності на кордоні допустимої області зміни змінних стає досить складним.
Метод множників Лагранжа застосовують для вирішення завдань такого ж класу складності, як і при використанні звичайних методів дослідження функцій, але за наявності обмежень типу рівностей на незалежні змінні. До вимоги можливості отримання аналітичних виразів для похідних від критерію оптимальності при цьому додаєть...
