ся аналогічну вимогу щодо аналітичного виду рівнянь обмежень.
В основному при використанні методу множників Лагранжа доводиться вирішувати ті ж завдання, що і без обмежень. Деяке ускладнення в даному випадку виникає лише від введення додаткових невизначених множників, внаслідок чого порядок системи рівнянь, розв'язуваної для знаходження екстремумів критерію оптимальності, відповідно підвищується на число обмежень. В іншому, процедура пошуку рішень і перевірки їх на оптимальність відповідає процедурі вирішення завдань без обмежень.
Множники Лагранжа можна застосовувати для вирішення завдань оптимізації об'єктів на основі рівнянь з приватними похідними і завдань динамічної оптимізації. При цьому замість вирішення системи кінцевих рівнянь для відшукання оптимуму необхідно інтегрувати систему диференціальних рівнянь.
Слід зазначити, що множники Лагранжа використовують також як допоміжний засіб і при вирішенні спеціальними методами завдань інших класів з обмеженнями типу рівностей, наприклад, у варіаційному численні і динамічному програмуванні. Особливо ефективним є застосування множників Лагранжа в методі динамічного програмування, де з їх допомогою іноді вдається знизити розмірність розв'язуваної задачі.
Методи варіаційного числення зазвичай використовують для вирішення завдань, в яких критерії оптимальності представляються у вигляді функціоналів та рішеннями яких служать невідомі функції. Такі завдання виникають зазвичай при статичної оптимізації процесів з розподіленими параметрами або в задачах динамічної оптимізації.
Варіаційні методи дозволяють в цьому випадку звести рішення оптимальної завдання до інтегрування системи диференціальних 'рівнянь Ейлера, кожне з яких є нелінійним диференціальним рівнянням другого порядку з граничними умовами, заданими на обох кінцях інтервалу інтегрування. Число рівнянь зазначеної системи при цьому дорівнює числу невідомих функцій, визначених при вирішенні оптимальної завдання. Кожну функцію знаходять в результаті інтегрування одержуваної системи.
Рівняння Ейлера виводяться як необхідні умови екстремуму функціоналу. Тому отримані інтегруванням системи диференціальних рівнянь функції повинні бути перевірені на екстремум функціоналу.
При наявності обмежень типу рівностей, що мають вигляд функціоналів, застосовують множники Лагранжа, що дає можливість перейти від умовної задачі до безумовною. Найбільш значні труднощі при використанні варіаційних методів виникають у разі вирішення завдань з обмеженнями типу нерівностей.
Заслуговують уваги прямі методи розв'язання задач оптимізації функціоналів, зазвичай дозволяють звести вихідну варіаційну задачу до задачі нелінійного програмування, вирішити яку іноді простіше, ніж крайову задачу для рівнянь Ейлера.
Динамічне програмування служить ефективним методом вирішення завдань оптимізації дискретних багатостадійних процесів, для яких критерій оптимальності задається як адитивна функція критеріїв оптимальності окремих стадій. Без особливих труднощів вказаний метод можна поширити і на випадок, коли критерій оптимальності заданий в іншій формі, однак при цьому зазвичай збільшується розмірність окремих стадій.
По суті метод динамічного програмування являє собою алгоритм визначення оптимальної стратегії управління на всіх стадіях процесу. При цьому закон управління на кожній стадії знаходять шляхом вирішення приватних завдань оптимізації послідовно для всіх стадій процесу за допомогою методів дослідження функцій класичного аналізу або методів нелінійного програмування. Результати рішення зазвичай не можуть бути виражені в аналітичній формі, а виходять у вигляді таблиць.
Обмеження на змінні задачі не роблять впливу на загальний алгоритм рішення, а враховуються при вирішенні приватних завдань оптимізації на кожній стадії процесу. При наявності обмежень типу рівностей іноді навіть вдається знизити розмірність цих приватних завдань за рахунок використання множників Лагранжа. Застосування методу динамічного програмування для оптимізації процесів з розподіленими параметрами або в задачах динамічної оптимізації призводить до вирішення диференціальних рівнянь в приватних похідних. Замість вирішення таких рівнянь найчастіше значно простіше уявити безперервний процес як дискретний з досить великим числом стадій. Подібний прийом виправданий особливо в тих випадках, коли є обмеження на змінні завдання і пряме рішення диференціальних рівнянь ускладнюється необхідністю обліку зазначених обмежень.
При вирішенні завдань методом динамічного програмування, як правило, використовують обчислювальні машини, що володіють достатнім об'ємом пам'яті для зберігання проміжних результатів рішення, які зазвичай виходять в табличній формі.
