stify"> y = f ( x ).
В якості початкового наближення кореня візьмемо точку c 0 - середину відрізка:
Якщо, то - шуканий корінь рівняння, якщо,
то з двох відрізків [ a, ] і [, b ] вибираємо той, на кінцях якого функція приймає значення різних знаків.
Новий відрізок знову ділимо навпіл і далі поступаємо аналогічно вищевикладеному. Довжина кожного нового відрізка вдвічі менше довжини попереднього відрізка, тобто за n кроків скоротиться в раз.
Обчислення припиняємо, якщо довжина відрізка [,], стане менше заданої похибки, тобто .:
Гідність методу половинного ділення: більш швидка збіжність до заданої точності, ніж у крокового. Недолік: якщо на відрізку [а, b] міститься більше одного кореня, то метод не працює [1].
.2 Обчислення визначеного інтеграла за формулою трапеції
Нехай потрібно обчислити інтеграл, де f ( x ) - безперервна функція. Для простоти міркувань обмежимося випадком, коли. Розіб'ємо відрізок [ a, b ] на n відрізків точками і за допомогою прямих побудуємо n прямолінійних трапецій. Сума площ трапецій наближено дорівнює площі криволінійної трапеції, де і - відповідно підстави трапецій;- Їх висоти. Таким чином, отримана наближена формула:
яка і називається формулою трапецій . Ця формула тим точніше, чим більше n [1].
Ейлер програмування чисельний
2.3 Метод Ейлера для обчислення диференціального рівняння
Вирішити диференціальне рівняння у /=f (x, y) чисельним методом - це означає для заданої послідовності аргументів, ..., і числа, не визначаючи функцію у=f (x), знайти такі значення,, ... ,, що й F () =.
Таким чином, чисельні методи дозволяють замість знаходження функції У=f (x) отримати таблицю значень цієї функції для заданої послідовності аргументів. Величина називається кроком інтегрування.
Метод Ейлера ставитися до чисельних методів, що дає рішення у вигляді таблиці наближених значень шуканої функції у (х). Він є порівняно грубим і застосовується в основному для орієнтовних розрахунків. Однак ідеї, покладені в основу методу Ейлера, є вихідними для низки інших методів.
Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку з початковою умовою x =, y ()=Потрібно знайти рішення рівняння на відрізку [а, b]. Розіб'ємо відрізок [a, b] на n рівних частин і отримаємо послідовність ,,, ...,, де=+ ih (i=0,1, ..., n), а -крок інтегрування.
У методі Ейлера наближені значення у () () обчислюються послідовно за формулами + hf (,) (i=0,1,2 ...). При цьому шукана інтегральна крива у=у (х), через точку (,), замінюється ламаною ... з вершинами (,) (i=0,1,2, ...); кожна ланка цієї ламаної, званої ламаної Ейлера, має напрямок, що збігається з напрямком тієї інтегральної кривої рівняння, яка проходить через точку. Якщо права частина рівняння в деякому прямокутнику задовольняє умовам:
(N=const),
(M=const), то має місце наступна оцінка похибки:
| y () - |, де у () - значення точного рішення рівняння при х =, а -прібліженное значення, отримане на n-му кроці.
Метод Ейлера легко поширюється на системи диференціальних рівнянь і на диференціальні рівняння вищих порядків. Останні повинні бути попередньо приведені до системі диференціальних рівнянь першого порядку [1].
3 Блок-схема програми main
Малюнок 2 - Блок-схема головної програми.
3.1 Блок-схема методу половинного ділення об'єкта Tpoldel
Малюнок 3 - Блок-схема методу половинного ділення.
3.2 Блок-схема методу трапеції об'єкта Tmettrap
Малюнок 4 - Блок-схема методу трапеції.
. 3 Блок-схема методу Ейлера об'єкта Teyler
Малюнок 5 - Блок-схема методу Ейлера.
. 4 Діаграма класів головної програми
Діаграма 1 - Діаграма класів головної програми.
. 5 Діаграма взаємодій головної програми
Діаграма 2 - Діаграма взаємодій головної програми.
. Опис стандартних функцій
Всі створювані модулі використовують процедуру Clrscr стандартного модуля Crt [4]. Зазначена процедура очищає екран і поміщає курсор у його верхній лівий кут. Діє процедура наступним чином: всі символи замінюються на пробіл з атрибутами, встановленими в даний момент. Наприклад, якщо колір фону TextBackground не чорне, ...
