сімейства рішень диференціального рівняння. Додаткові умови задаються, як правило, на кордоні розглянутій області. Якщо однією з незалежних змінних є час, то рішення шукають в деякій просторової області на відрізку часу. У цьому випадку додаткові умови, задані при називають початковими, а додаткові умови, задані на кордоні області - граничними або крайовими.
У курсах рівнянь математичної фізики викладено низку методів, що дозволяють знайти точне рішення для деяких класів задач. Точні методи дозволяють отримати явне вираження рішення через початкові дані, що полегшує подальші дії з рішенням. Точні методи корисні, але застосовні для дуже вузького класу задач. Чисельні методи є основним способом вирішення диференціальних рівнянь в приватних похідних.
1. Різницева схема рішення рівняння теплопровідності
Розглянемо чисельне рішення рівняння теплопровідності, де
u- Температура
x- просторова координата
t- Час
- коефіцієнт температуропровідності
(1.1)
Рішення потрібно отримати для значень аргументів і. У початковий момент часу (t=0) відомо розподіл температури
(1.2)
Задаються також значення функції на кінцях проміжку інтегрування просторової координати, т.е
; (1.3)
Зробимо заміну приватних похідних кінцевими співвідношеннями:
і (1.4),
де прирощення аргументів за часом і по просторовій координаті приймаються постійними, рівними і
Поставляючи співвідношення (1.4) в диференціальне рівняння з приватними похідними (1.1), отримуємо різницю рівняння для шуканого рішення на сітці значень аргументу по просторовій 0.4 та тимчасової - 0.2 змінним:
(1.5)
Різниця першого порядку за часом замінюється різницями
(1.6)
Різниця другого порядку по просторовій координаті замінюється різницями
(1.7)
Аналогічні різницеві співвідношення поділів застосувались при вирішенні крайової задачі звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.
Поставивши співвідношення (1.6) і (1.7) в рівняння (1.5), приходимо до системи алгебраїчних рівнянь щодо значень температури у вузлах:
(1.8)
Де i=1,2, ... m - 1 і j=1,2, ... n. Тут m і n число поділок проміжку зміни просторової і тимчасової змінних.
Рівняння (1.8) дозволяють обчислити рішення у внутрішніх точках сітки області визначення рішення. Число рівнянь системи (1.8) менше числа невідомих. Відсутні рівняння знаходяться з початкового (1.2) і граничних (1.3) умов.
Початкова умова (2) при t=0 в точках xi мають вигляд:
(1.9)
Для зміни на кінцях зміни просторової змінної (1.3) маємо:
; (1.10)
Якщо у нас крок по просторовій координаті рівним 0.2, крок з тимчасової координаті - 0.2. Значить, координати x, в яких визначається рішення, дорівнюють x=0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1; 1.2; 1.4; 1.6.
Тимчасова координата t приймає значення t=0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.
(1.11)
Тут введені позначення
(1.12)
розрахуємо наші
і
граничні умови мають вигляд:
з (1.2) і (1.3):
(1.13)
(1.14)
На кожному часовому шарі необхідно вирішити систему (1.11) з чотирнадцяти рівнянь. Перепишемо систему (1.13) у розгорнутому вигляді:
(1.15)
(1.16)
(1.17)
2. Чисельне рішення рівняння теплопровідності в табличному процесорі Microsoft Ехсеl
При вирішенні системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом прогонки в табличному процесорі Microsoft Excel вихідну систему проводимо до виду (1.16), коли коефіцієнт у першому рівнянні перед невідомою дорівнює одиниці. Для цього розділимо перше рівняння системи на коефіцієнт при другій невідомою. У стовпці таблиці Microsoft Excel записуємо номери рівнянь системи, значення вільних частин рівнянь системи, значення вільних частин рівнянь системи і коефіцієнти перед елементами під головною діагональ, на головній діагоналі і над головною діагоналлю матриці коефіцієнтів системи. У наступних двох стовпцях обчислюємо значення допоміжних коефіцієнтів. Останній в таблиці стовпець призначається для обчислення рішення системи.
Для чисельного рішення рівняння теплопровідності потрібно багаторазове рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1.16) методом прогонки. При цьому ясно, що матриця коефіцієнтів перед невідомими системи однакова і її елементи не залежать від значення просторової і тимчасової координат у вузлах сітки. З формул (1.17) випливає, що і допоміжні коефіцієнти також будуть одна...
