ковими при вирішенні всіх систем. Ці коефіцієнти обчислимо один раз і далі будемо на них тільки посилатися в формулах. Тому для вирішення рівняння теплопровідності розташуємо вихідні дані дещо в іншому порядку: ті величини, які не будуть змінюватися при повторних розрахунках, запишемо в лівих шпальтах таблиці, а ті, що при повторних розрахунках змінюються - в правих (рис 2.1). Так що порядок стовпців у вирішенні приймемо наступний: у першій заносимо значення просторової координати, в яких обчислюється рішення; у другому - номер рівняння; третій, четвертий, п'ятий стовпці будуть розташовуватися обчислені значення коефіцієнтів; в сьомому стовпці будемо обчислювати значення температури в вузлових точках f (xi) відповідно до початковими умовами задачі (1.9) (рис.2.1)
На цьому завершується підготовча робота пошуку рішення. Всі наступні стовпчики таблиці будуть містити мінливі рішення системи. Тому в наступних трьох стовпцях будемо виробляти обчислення тих величин, які будуть змінюватися при вирішенні системи для наступного часового шару: права частина рівнянь системи, допоміжні коефіцієнти і температура на наступному часовому шарі.
Виробляємо обчислення в перших шпальтах таблиці, щоб забезпечити наявність всіх вихідних даних для розрахунку. (Ріс.2.1,2.2).
Рис. 2.1. Вихідні дані розрахунку методом прогонки, обчислення u0 і u1 (режим відображення чисел)
Рис. 2.2. Вихідні дані розрахунку методом прогонки, обчислення u0 і u1 (режим відображення формул)
Значення і обчислюються з крайових умов задачі (1.13) і (1.14), і заносяться у відповідні комірки таблиці. Значення температури у вузлах нульового тимчасового шару рішення обчислюються з початкових умов (1.9)
Далі обчислюються значення вільного стовпця системи (1.16) і допоміжних коефіцієнтів (Рис 2.1). Всі посилання на комірки з не змінюються в ході розрахунку даними є абсолютними для забезпечення їх незмінності при подальшому копіюванні розрахункових формул. Прямий хід методу прогону завершений.
Виконуючи зворотний хід методу прогону, одержимо значення температури на першому часовому шарі в стовпці j таблиці. (Мал. 2.1).
Рис. 2.3. Вихідні дані розрахунку методом прогонки, обчислення u2, u3 (режим відображення чисел)
Рис. 2.4. Вихідні дані розрахунку методом прогонки, обчислення u2, u3 (режим відображення формул)
Отримали значення температури на першому часовому шарі, тобто при j=1.Для отримання рішення в другому часовому шарі j=2 потрібно вирішити систему (1.16), вільний стовпець якої містить температуру першого шару у вузлах, тобто отримані в стовпці j величини. Слід повторити обчислення стовпця вільних членів, допоміжних коефіцієнтів і зворотним ходом отримати значення температури у вузлах для другого тимчасового шару. Значить, можна скопіювати діапазон з обчисленнями в цих трьох стовпцях, тобто H5: J11 і вставити в такі стовпці, тобто стовпці K, L, M таблиці. (Ріс.2.3-2.6)
Рис. 2.5. Вихідні дані розрахунку методом прогонки, обчислення u4, u5 (режим відображення чисел)
Рис. 2.6. Вихідні дані розрахунку методом прогонки, обчислення u4, u5 (режим відображення формул)
Отримані значення температури зводимо в єдину таблицю (Рис.2.7).
Рис.2.7. Отримане рішення (режим відображення чисел)
Рис.2.8. Отримане рішення (режим відображення формул)
Графік зміни температури в точці області x=1,2 і при значенні часу t=0,6
Будуємо графічне представлення отриманого рішення (Рис.2.9).
Рис.2.9. Графічне представлення рішення рівняння теплопровідності
3. Чисельне рішення рівняння теплопровідності в пакеті математичних розрахунків MathCAD
Починаючи рішення, введемо вихідні дані і обчислимо значення температури на нульовому часовому шарі по початковими умовами (1.9). Далі задамо матрицю коефіцієнтів системи - матриця А і стовпець вільних членів (1.16). Знаходимо рішення системи, тобто температура на першому часовому шарі u1, і показуємо результат обчислень (рис 2.1) .Визначення температура для внутрішніх вузлів сітки. Для того, щоб знайти температуру на другому часовому шарі потрібно вирішити систему зі зміненим стовпцем вільних членів. Для отримання рішення на другому часовому шарі потрібно перерахувати вільний стовпець системи і знову її вирішити. Особливість обчислення в пакеті MathCAD є те, що індекси у векторів відраховуються від нуля, тому з'являється невідповідність у запису формул. Рішення для другого шару u2 приведено на рис.2.3.
Рис 3.1. Вирішення рівняння теплопровідності на першому часовому шарі
Рис 3.2. Виріш...
