ХИБОК тактової синхронізації
.1 Постановка завдання
Нехай на інтервалі часу спостерігається адитивна суміш корисного сигналу і шуму:
. (1.1)
Корисний сигнал являє собою Гаусовим імпульсний стохастичний сигнал, який можна представити як випадкову функцію виду
, (1.2)
де - час приходу, - тривалість імпульсу, а - широкосмуговий стаціонарний випадковий процес з математичним очікуванням (МО) і спектральної щільністю (СП)
(1.3)
(функцією кореляції). Тут - ширина смуги частот, а - дисперсія процесу.
Імпульсний сигнал (1.2) можна розглядати як результат амплітудної модуляції прямокутного видеоимпульса реалізацією гаусівського випадкового процесу. Прикладами таких сигналів можуть служити імпульси з випадковою Субструктура описують спалах оптичного шуму, інформаційний сигнал в системах зв'язку шумовий несучої, сигнал спотворений модулирующей перешкодою і ін.
перешкод апроксимуємо гауссовским білим шумом з математичним очікуванням (МО) і односторонньої спектральною щільністю.
За спостережуваної реалізації необхідно оцінити (виміряти) МО випадкового імпульсного сигналу. При цьому тимчасове положення імпульсу також може бути невідомо і приймати значення з апріорного інтервалу.
1.2 Оцінка математичного очікування імпульсного сигналу при відсутності помилок синхронізації
При синтезі алгоритму оцінки скористаємося методом максимальної правдоподібності (МП) [1-5]. Відповідно до цього методу необхідно формувати логарифм функціоналу відношення правдоподібності (ЛФОП) як функцію невідомої амплітуди. На підставі результатів робіт [1-3] вираз для ЛФОП можна представити у вигляді
(1.4)
де - відгук фільтра з імпульсною характеристикою на реалізацію спостережуваних даних (1.1), причому передавальна функція цього фільтру задовольняє умові,,.
Оцінка максимальної правдоподібності (ЗМУ) невідомої амплітуди визначається як положення найбільшого максимуму ЛФОП по змінній а:
. (1.5)
Положення найбільшого максимуму ЛФОП розв'язує системи рівняння і нерівності:
,. (1.6)
Згідно (1.3)
. (1.7)
Тоді ОМП параметра запишеться у вигляді
. (1.8)
Алгоритм (1.8) можна реалізувати за допомогою вимірника, структурна схема якого показана на малюнку.
Малюнок 1 - Максимально-правдоподібний вимірювач математичного очікування випадкового імпульсного сигналу
Тут позначено: 1 - ключ відкривається на час, 2 - інтегратор, 3 - дільник.
Розглянемо характеристики оцінки (1.8). Оскільки адитивна перешкода є гауссовской, то ОМП (1.8) є гауссовской випадковою величиною. Тому її ефективність повністю (в статистичному сенсі) характеризується умовними зміщенням, дисперсією і пов'язаним з ними розсіюванням.
Згідно з визначенням умовне зміщення ОМП (1.8) знайдемо шляхом її безпосереднього усереднення по реалізаціям:
. (1.9)
Підставляючи формули (1.1), (1.2) в (1.9) і враховуючи, що, отримуємо:
. (1.10)
Таким чином, ЗМУ (1.8) при апріорі відомих інших параметрах імпульсу є умовно (а, отже, і безумовно) незміщеної.
Аналогічно можна знайти умовну дисперсію ОМП (1.9):
(1.11)
Підставляючи (1.1), (1.2) в (1.11), отримуємо:
(1.12)
Оскільки сигнал і шум статично незалежні, то. Крім того,,, де - кореляційна функція процесу, а - дельта-функція. З урахуванням трьох останніх рівностей з (1.12) отримуємо
. (1.13)
Для обчислення першого інтеграла в (1.13) зробимо заміну змінних:,. Тоді, вважаючи, що флуктуації процесу є «швидкими», тобто виконується умова, маємо:
(1.14)
Для обчислення другого інтеграла в (1.13) використовуємо фільтруюче властивість? -функції:. Тоді знаходимо:
(1.15)
Підставляючи (1.14), (1.15) в (1.13) для дисперсії оцінки остаточно отримуємо
(1.16)
Оскільки ОМП (1.8) є незміщеної, то дисперсія оцінки збігається з її розсіюванням:
. (1.17)
З формул (1.10), (1.16), (1.17) випливає, що точність ОМП (1.8) МО випадкового імпульсного сигналу (1.2) не залежить від спотвореного значення параметра. Дисперсія оцінки МО, з одного боку, зростає зі збільшенням спектральної щільності і N0 процесу і шуму, а, з іншого боку, зменшується зі збільшенням тривалості вимірюваного імпульсу. Вирази (1.10), (1.16), (1.17) дозволяють зробити обгрунтований вибір тривалості корисного сигналу в залежності від необхідної ефективності МП вимірювача т...
