Мізеса-Хілла
(1.1)
і асоційований закон пластичної течії
; ;
; ; (1.2)
; ,
де,,,, - параметри, що характеризують поточний стан анізотропії;- Компоненти тензора напружень в головних осях анізотропії; ,,,, І - компоненти приросту тензора деформацій;- Коефіцієнт пропорційності. Тут,, - головні осі анізотропії.
Параметри анізотропії,,,, пов'язані з величинами опору матеріалу пластичного деформації наступними співвідношеннями:
; ;
; ; (1.3)
; ,
де, і - величини опору матеріалу пластичного деформації при розтягуванні в головних осях анізотропії; ,, - Величини опору матеріалу пластичного деформації при зсуві по відношенню до головних осей анізотропії.
У разі изотропно-зміцнюється начально ортотропного тіла вводяться поняття інтенсивності напружень
(1.4)
та прирощення інтенсивності деформації
(1.5)
де коефіцієнт пропорційності.
1.2 Плоский напружений стан анізотропного матеріалу
Ряд процесів обробки металів тиском, таких як витяжка, обтиск, роздача та інші, протікають в умовах плоского напруженого стану листової заготовки. Теоретичні дослідження напруженого і деформованого стану заготовки, силових режимів цих процесів виконуються на основі рівнянь плоского напруженого стану.
Для плоского напруженого стану (;) умова плинності (2.1) записується у вигляді
. (1.6)
Крім зазначених вище характеристик анізотропії,, і, анізотропію механічних властивостей листових матеріалів оцінюють коефіцієнтом анізотропії, який являє собою відношення логарифмічних деформацій по ширині і товщині зразка, вирізаного під кутом до напрямку прокатки при випробуванні його на розтяг:
, (1.7)
де - логарифмічна деформація по ширині;- Логарифмічна деформація по товщині.
Коефіцієнти анізотропії пов'язані з параметрами анізотропії співвідношенням
. (1.8)
Вираз (2.8) дозволяє визначати коефіцієнт анізотропії в будь-якому напрямку листа щодо напрямку прокатки в залежності від ставлення параметрів анізотропії, і.
Величини опору матеріалу пластичного деформації в різних напрямках по відношенню до напрямку прокатки в площині аркуша можуть бути розраховані за виразом:
, (1.9)
де - опір матеріалу пластичного деформації при розтягуванні зразка, вирізаного в напрямку, перпендикулярному напрямку прокатки.
Відносини параметрів анізотропії зазвичай визначаються на основі вимірів деформацій зразків, вирізаних в різних напрямках щодо направлення прокатки, при їх випробуванні на розтяг по залежностях:
; ;. (1.10)
Визначивши коефіцієнти анізотропії в напрямках, і до напрямку прокатки і параметр анізотропії за виразом:
, (1.11)
можна знайти інші параметри анізотропії.
Часто анізотропію в площині листа оцінюють середнім значенням, обчисленою за формулами:
;. (1.12)
Для трансверсально-ізотропного тіла в головних напружених умова плинності прийме вигляд:
. (1.13)
1.3 Плоске деформований стан анізотропного тіла
Теоретичні дослідження таких процесів обробки металів тиском, як прокатка листів, осадка призматичних заготовок з великим відношенням довжини до ширини, витяжка з утонением, волочіння і видавлювання порожнистих осесиметричних деталей і труб з великим відношенням діаметра до товщини, проводяться на основі рівнянь плоского деформованого стану.
Нехай координатні осі,, збігаються з головними осями анізотропії.
Вибираємо такий стан плоскої деформації, щоб головна вісь анізотропії була нормальна до площини течії. У цьому випадку деформація уздовж осі відсутня, т.е.
. (1.14)
З урахуванням залежностей між напруженнями та приростами деформацій (1.2), віднесених до головних осей анізотропії, і умови (2.15) знайдемо
. (1.15)
Підставляючи значення з (1.15) в умову текучості для анізотропного тіла (1.1) і беручи до уваги, що для розглянутого випадку, отримаємо
. (1.16)
Ввівши позначення і:
; (1.17)
, (1.18)
умова плинності (1.16) приводиться до вигляду
, (1.19)
де - опір матеріалу пластичного деформації при зсуві стосовно осей і;- Характеристика анізотропії тіла в умовах плоскої деформації;.
Для матеріалу ізотропного і трансверсально-ізотропного.
Умова плинності (1.19) для плоского деформованого стану в головних осях напруг має вигляд:
