і цільову функцію агента:
В
(3.1.2)
Завдання стимулювання формулюється:
(3.1.3)
(3.1.4)
Дане завдання вирішується в 2 етапи. На першому етапі з виразу (3.1.4) визначається реакція агента як аналітична залежність від параметра системи стимулювання центру О±. На другому етапі отримана аналітична залежність підставляється у формулу (3.1.3), виходить завдання безумовної оптимізації. Вирішуючи це завдання, визначимо параметр системи стимулювання О±.
Перший етап. Знайдемо реакцію агента з рішення оптимізаційної задачі (3.1.4). Для цього продифференцируем вираз (3.1.4) по y і прирівняємо до нуля:
В
Вирішуючи рівняння, визначимо реакцію агента:
В
Другий етап. Підставимо реакцію агента в цільову функцію (3.1.3):
В
Обчислимо першу похідну і прирівняємо до нуля:
В
Вирішуючи рівняння, визначимо параметр О±:
В
Відповідь: параметр системи стимулювання дорівнює 500.
2. Завдання стимулювання для багатоелементної системи зі слабосвязанних агентами.
Керівник доручає роботу бригаді, що складається з двох робітників. Центр використовує пропорційну систему стимулювання:, де - ставка оплати одиниці виробленої i-му агентом продукції. Відома функція витрат кожного агента:
Ринкова ціна, за якою продається продукція р = 1000 руб., фонд заробітної плати бригади R = 20000 руб. Визначити параметри системи стимулювання і.
Рішення
Сформулюємо задачу стимулювання:
В
(3.2.1)
(3.2.2)
(3.2.3)
(3.2.4)
Перший етап. З виразу (3.2.2) і (3.2.3) визначимо реакцію агентів.
Для знаходження екстремуму функції однієї змінної продифференцируем функції і прирівняємо до нуля:
В
З рішення рівнянь випливає:
В
Другий етап. Підставивши і в вираз для цільової функції центру (3.2.1) і обмеження (3.2.4), отримаємо задачу на умовний екстремум:
В
Для її вирішення застосуємо метод множників Лагранжа. Запишемо функцію Лагранжа:
В
Знайдемо приватні похідні від функції Лагранжа по невідомим, і: (3.2.5)
В
(3.2.6)
(3.2.7)
Висловимо з (3.2.5) і (3.2.6) невідомі,:
В
Вийшло, що параметри функцій стимулювання для обох агентів однакові. З обмеження (3.2.7) визначаємо параметр системи стимулювання:
В
Відповідь: Параметри системи стимулювання і рівні між собою і дорівнюють 30,98. p> 3. Завдання стимулювання для багатоелементної системи з сильнозв'язаних агентами.
Керівник (центр) доручає роботу бригаді, що складається з 2 робітників. Робочі (агенти) виготовляють однорідну продукцію обсягом yi, яку центр продає за ціною p = 1500. Центр використовує пропорційну систему стимулювання
,
де - ставка оплати одиниці продукції.
Витрати агентів визначаються відповідно:
,
.
Фонд заробітної плати, що є в розпорядженні центру становить R = 37000 грошових одиниць. Визначити параметри системи стимулювання . p> Рішення
Запишемо цільову функцію центру:
В
(3.3.1)
і цільові функції агентів:
В
(3.3.2)
(3.3.3)
Сформулюємо задачу стимулювання:
(3.3.4)
(3.3.5)
(3.3.6)
Перший етап. Знайдемо реакцію першого агента з рішення оптимізаційної задачі. Для цього продифференцируем цільову функцію агента з і прирівняємо до нуля:
В
Вирішуючи рівняння, визначимо реакцію першого агента:
В
Аналогічно знайдемо реакцію другого агента:
В
Вирішивши систему рівнянь:
В
щодо y1 і y2получім реакції агентів:
В
Другий етап. Підставимо реакції агентів в цільову функцію центру:
В
Продифференцировав цей вираз по, і прирівнявши нулю, отримаємо систему рівнянь:
В
Вирішивши отриману систему рівнянь, визначимо параметри системи
стимулювання і
Відповідь: параметри системи стимулювання і рівні 645,83 і 961,01 відповідно.
