/i> будуть великими, а в силу властивості 3 всі множини, що не містять m, будуть малими. Залишилося показати, що M0 не може містити більше одного елемента. У самому справі, в цьому випадку його можна було б розбити на дві непусті непересічні частини M1 і M2. Ці частини повинні бути малими (тому що містять менше елементів, ніж M0), а їх об'єднання M0 є великим, що суперечить вимозі 5.
Виявляється, однак, що при рахунковому числі голосуючих можливі системи голосування, що задовольняють вимогам 1-5 і не зводяться до згаданого тривіальним нагоди. Іншими словами, можна так розбити всі підмножини натурального ряду на великі і малі, щоб виконувалися властивості 1-5 і будь-яке одноелементні безліч було малим. Тоді (у силу властивості 5) і будь-яке кінцеве безліч буде малим, а (в силу властивості 3) всяке безліч з кінцевим доповненням (до N) - великим. Таким чином, до вимог 1-5 можна без протиріччя додати й таке:
6. Будь-яке кінцеве безліч є малим, всяке безліч з кінцевим
доповненням - біл ьшім. (При го-лосованіі думка кінцевого числа голосуючих неістотно.)
Розбиття всіх підмножин натурального ряду на великі і малі, яке задовольняє вимогам 1-6, називається нетривіальним ультрафільтрів на безлічі натуральних чисел. p> Покажемо тепер, що таке розбиття дозволяє побудувати систему гіпердействітельних чисел, задовольняє вимогам Основний гіпотези. Отже, нехай фіксовано розбиття, яке задовольняє вимогам 1-6. Назвемо дві послідовності x n і y n еквівалентними, якщо безліч тих n, при яких x n = y n є великим. У силу вимоги 2 всяка послідовність еквівалентна самій собі. p> Ми бачимо, що введене відношення рефлексивно, симетрично (це очевидно з визначення) і транзитивно і, отже, розбиває всі послідовності дійсних чисел на класи еквівалентності, тобто такі класи, що будь-які дві послідовності одного класу еквівалентні, а будь-які дві послідовності з різних класів - ні. Ці класи ми і назвемо гіпердействітельнимі числами. Що ще нам потрібно? Потрібно, щоб безліч дійсних чисел було підмножиною множини гіпердействітельних. Потрібно вміти для кожної функції з дійсними аргументами і значеннями будувати її гіпердействітельний аналог. Потрібно перевірити, що будь-яка система рівнянь і нерівностей, гіпердействітельний аналог якої має гіпердействітельние рішення, має дійсні рішення. І, нарешті, потрібно переконатися, що серед гіпердействітельних чисел (розглянутих як упорядковане поле) існують нескінченно малі, відмінні від нуля.
Щоб зробити R підмножиною * R, ототожнив кожне дійсне число х з послідовністю х, х, х, ..., точніше, з містить її класом. При цьому різним дійсним числах відповідають різні класи: х, x , х ... не еквівалентно в, в, < i> y ... (Безліч тих n, при яких n-е члени збігаються, порожньо і, отже, є малим).
Нехай f: R В® R - функція з дійсними аргументами і...
