lign=top>
x
0
2
3
5
y
1
3
2
5
Ступінь многочлена Лагранжа для n +1 вузла дорівнює n . Для нашого прикладу многочлен Лагранжа має третю ступінь. Відповідно до (4.9)
В
L 3 ( x ) = 1 +3 + 2 + 5 = 1 + x - x 2 + x 3 .
В
Приклад 4.4.
Розглянемо приклад використання інтерполяційного многочлена Лагранжа для обчислення значення заданої функції в проміжній точці. Ця задача виникає, наприклад, коли задані табличні значення функції з великим кроком, а потрібно скласти таблицю значень з маленьким кроком.
Для функції y = Sinx відомі наступні дані. br/>
x
0
p/6
p/3
p/2
y
0
ВЅ
В
1
Обчислимо y (0.25). p> Знайдемо многочлен Лагранжа третього ступеня:
В
L 3 ( x ) = 0 + +
+ 1.
При x = 0.25 отримаємо y (0.25) = sin 0.25 В»0.249. p> Похибка інтерполяції. Нехай інтерполяційний многочлен Лагранжа побудований для відомої функції f ( x ) . Необхідно з'ясувати, наскільки цей многочлен близький до функції в точках відрізка [ A, b ], відмінних від вузлів. Похибка інтерполяції дорівнює | f ( x ) - P n ( x ) |. Оцінку похибки можна отримати на підставі наступної теореми.
Теорема 4.2. Нехай функція f ( x ) дифференцируема n + 1 раз на відрізку [ a, b ], що містить вузли інтерполяції x i ГЋ [ a, b ], i = 0, 1, ..., n. Тоді для похибки інтерполяції у точці x ГЋ [ a, b ] справедлива оцінка:
| f ( x ) - L n ( x ) | ВЈ | w n + 1 ( x ) |, (4.10)
де
В
M n + 1 = | f ( n + 1 ) ( x ) |,
w n + 1 ( x ) = ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) .... ( x - x n ) .
Для максимальної похибки інтерполяції на всьому відрізку [ a, b ] справедлива оцінка:
| f ( x ) - L n ( x ) | ВЈ | w n ( x ) | (4.11)
В
Приклад 4.5.
Оцінимо похибка наближення функції f ( x ) = в точці x = 116 і на всьому відрізку [ a, b ], де a = 100, b = 144, за допомогою інтерполяційного багато члена Лагранжа L 2 ( x ) другого ступеня, побудованого з вузлами x 0 = 100, x 2 = 144. p> Знайдемо першу, другу і третю похідні функції f ( x ):
В
f '( x ) = x - 1/2 , f "( x ) = - X -3/+2 , f '' '( x ) = x -5/2 .
M 3 = | f '' '( x ) | = 100 -5 /2 = 10 -5 .
У Відповідно до (4.9) отримаємо оцінку похибки в точці x = 116:
| - L 2 (116) | ВЈ | (116 - 100) (116 - 121) (116 - 144) | = 10 -5 Г— 16 Г— 5 Г— 28 = 1.4 Г— 10 - 3 . br/>
Оцінимо похибка наближення функції f ( x ) = на всьому відрізку відповідно до (4.11):
| - L 2 ( x ) | ВЈ | ( x - 100) ( x - 121) ( x -144) | В»2.5 Г— 10 -3 . br/>
4.4 Апроксимація функцій. Метод найменших квадратів
В інженерній діяльності часто виникає необхідність описати у вигляді функціональної Залежно зв'язок між величинами, заданими таблично або у вигляді набору точок з координатами ( x i , y i ) , i = 0, 1, 2 ,. .. , N, де n - ...
