загальна кількість точок. Як правило, ці табличні дані отримані експериментально і мають похибки (рис. 2.5)
В
Рис.4.2
При апроксимації бажано отримати відносно просту функціональну залежність (наприклад, многочлен), яка дозволила б "згладити" експериментальні похибки, обчислювати значення функції в точках, які не містяться у вихідній таблиці.
Ця функціональна залежність повинна з достатньою точністю відповідати вихідної табличній залежності. В якості критерію точності найчастіше використовують критерій найменших квадратів , тобто визначають таку функціональну залежність f ( x ), при якій
S =, (4.12)
звертається в мінімум.
Похибка наближення оцінюється величиною середньоквадратичного ухилення
В
D =. (4.13)
В якості функціональної залежності розглянемо многочлен
В
P m ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a m x m . (4.14)
Формула (4.12) прийме вигляд
S =
Умови мінімуму S можна записати, прирівнюючи нулю приватні похідні S по всім змінним a 0 , a 1 , a 2 , ..., a m . Отримаємо систему рівнянь
= - = 0, або p> = 0, k = 0, 1, ..., m . (4.15)
Систему рівнянь (4.15) перепишемо у наступному вигляді:
a 0 + a 1 + ... + a m = , K = 0, 1, ..., m (4.16)
Введемо позначення:
В
c k =, b k =. br/>
Система (4.16) може бути записана так:
В
a 0 c k + a 1 c k +1 + ... + c k + m a m = b k , k = 0, 1, ..., m . (4.17)
Перепишемо систему (4.17) у розгорнутому вигляді:
В
c 0 a 0 + c 1 a 1 + c 2 a 2 ... + c m a m = b 0
c 1 a 0 + c 2 a 1 + C 3 a 2 ... + c m +1 a m = B 1
(4.18)
c m a 0 + c m +1 a 1 + c m +2 a 2 ... + C 2 m a m = b m
Матрична запис системи (4.18) має наступний вигляд:
В
Ca = b . (4.19)
Для визначення коефіцієнтів a k , k = 0, 1, ..., m , і, отже, шуканого многочлена (4.14) необхідно обчислити суми c k , b k і вирішити систему рівнянь (4.18). Матриця C системи (4.19) називається матрицею Грама і є симетричною і позитивно визначеною. Ці корисні властивості використовуються при рішенні. p> Похибка наближення відповідно до формули (4.13) складе
В
D =. (4.20)
Розглянемо окремі випадки m = 1 і m = 2.
1. Лінійна апроксимація ( m = 1).
В
P 1 ( x ) = A 0 + a 1 x . p> c 0 == N + 1; c 1 ==; c 2 =; (4.21)
b 0 ==; B 1 ==. (4.22)
c 0 c 1 n +1
C ==, p> c 1 c 2
b = ( B 0 , b 1 ) T = (,) T .
Рішення системи рівнянь Ca = b знайдемо за правилом Крамера:
В
a 0 =, a 1 =,
де Гє C Гє - визначник матриці C , аГє C i Гє - визначник матриці C i , отриманої з матриці C заміною i -го шпальти стовпцем вільних членів b , i = 1, 2.
Таким чином,
В
a 0 =, a 1 =. (4.23)
Алгоритм...
