>
=
щоб знайти k покладемо a = 0, b = 1, c = 2. Ми отримаємо, що k = 1, а тому
=
== 0.
Розкладання симетричних многочленів від трьох змінних на множники
У разі трьох змінних симетрія многочлена значно полегшує відшукання його розкладання на множники. У це розкладання можуть входити симетричні і несиметричні множники. При цьому, якщо в розкладання входить несиметричний множник h (x, y, z), то, в силу симетрії, розкладаного многочлена, повинні входити і все множники, одержувані з h (x, y, z) перестановкою змінних x, y, z .
Як ми вже знаємо змінні x, y, z можна переставляючи ть шістьма різними способами. Тому, взагалі кажучи, разом з несиметричним множником h (x, y, z) повинні входити ще п'ять множників. Однак, якщо сам множник h (x, y, z) має часткову симетрію, то число додаткових множників зменшується. Так, якщо множник h (x, y, z) симетричний щодо x і y, тобто задовольняє умові
h (x, y, z) = h (y, x, z),
то при перестановках змінних x, y, z виходить ще два відмінних від нього множника h (y, z, x) і h (z, x, y,). (Вони виходять за допомогою циклічних перестановок.) Якщо ж многочлен h (x, y, z) парному-симетричний, тобто володіє тим властивістю, що
h (x, y, z) = h (y, z, x) = h (z, x, y,),
то в розкладанні з ним пов'язаний лише один множник h (y, x, z).
Отже, в розкладанні на множники симметрического многочлена ? ( x, y, z) можуть входити такі види співмножників:
1. симетричні множники h (x, y, z);
2. твори виду h (x, y, z) В· h (y, x, z), В· де h (x, y, z) - многочлен , не змінний при парних перестановках;
. твори виду h (x, y, z) В· h (y, z, x) В· h (z, x, y,), де h ( x, y, z) - многочлен, симетричний щодо x і y;
. твори виду h (x, y, z) В· h (y, z, x) В· h (z, x, y,) В· h (y , x, z) В· h (x, z, y) В· h (z, y, x,)
де h (x, y, z) - многочлен, що не володіє симетрією.
Покажемо тепер, як зроблені зауваження дозволяють розкладати симметрические многочлени на множники. Розклад на симетричні множники ми вже розглядали. Після того як многочлен розкладений на симетричні множники, треба розкладати далі (користуючись зробленими зауваженнями) самі ці множники. p align="justify"> Розглянемо приклад.
1. Розкласти на множники многочлен
.
Зазначений многочлен має вигляд і тому на симетричні множники не розкладається. Отже, залишається можливість розкласти його ...
