на три множника першого ступеня, причому ці множники повинні бути симетричними відносно двох змінних. Інакше кажучи, розкладання треба шукати у вигляді
= ()
де k, l - шукані коефіцієнти. Вважаючи в рівності () a = b = c = 1, отримуємо, звідки. Далі, при a = b = 0, c = 1 отримуємо, тобто одне з чисел k, l дорівнює нулю. Нарешті, при a = 1, b = 1, c = 0 знаходимо, звідки видно, що k. Отже, l = 0, k =. Ми отримуємо, таким чином, розкладання
=.
Якщо тепер з кожної дужки винести, то ми отримаємо:
=
Симетричні многочлени від декількох змінних
Елементарні симметрические многочлени від декількох змінних
Перейдемо тепер до вивчення симетричних многочленів від будь-якого числа змінних. Основні їх властивості видно вже на розібраному вище окремому випадку симметрического многочлена від трьох змінних. Але деякі ускладнення при переході до більшого числа змінних все ж виникають. p align="justify"> Визначення симетричних многочленів у випадку кількох змінних формулюється точно так само, як і у випадку трьох змінних: многочлен ? ( x 1 , x 2 , ..., x n ) від n змінних x 1 , x 2 , ..., x n називається симетричним, якщо він не змінюється ні за якої перестановці змінних. Можна це визначення сформулювати по-іншому: многочлен ? ( x 1 , x 2 , ..., x n ) називається симетричним, якщо він не змінюється ні за якої перестановці змінних x 1 , x 2 , ..., x n . Іншими словами,
? (x1, x2, ..., xn) =? (),
де i1, i2, ..., in - це ті ж числа 1, 2, ..., n, але розташовані в будь-якому іншому порядку.
Більшість понять, введених у разі симетричних змінних від трьох змінних таким же точно чином визначаються і в загальному випадку. Наприклад, статечної сумою ступеня k від n змінних x1, x2, ..., xn, називають вираз
sk = x1k + x2k + ... + xnk.
Далі, орбітою Одночлен називають суму всіх одночленів, одержуваних з перестановками змінних. Наприклад, у разі n = 4, тобто у разі чотирьох змінних x...
