провела: а) по чотири зустрічі, б) по п'ять зустрічей
3.9. Чи можна провести футбольний турнір семи команд так, щоб кожна команда провела по три зустрічі? p> Рішення.
Спроби вирішити це завдання тим же методом, що й попередні завдання, призводять до невдачі. Виникає підозра, що провести турнір таким чином можна.
Для того щоб довести нашу гіпотезу, спробуємо замість малюнка підрахувати загальне число зустрічей, які треба провести командам. Воно дорівнює 7 (3/2). Але це число не є цілим. p> Відповідь: не можна. p> 3.10. Доведіть що загальне число вершин графа, які мають непарну ступінь парне. p> 3.11. У трьох вершинах правильного п'ятикутника розташували по фішці. Дозволяється пересувати їх по діагоналі в будь-яку вільну вершину. Чи можна таким чином домогтися того, щоб одна з фішок повернулася на своє місце, а дві інші помінялися місцями?
3.12. Дан правильний 45-і кутник. Чи можна так розставити в його вершинах цифри від 0 до 9 так, щоб для будь-якої пари різних цифр знайшлася сторона, кінці якої занумеровані цими цифрами.
Вказівка.
Розглянути повний граф, вершини якого суть цифри від 0 до 9. Завдання зводиться до його обходу. p> 3.13. Доведіть що загальне число вершин графа, які мають непарну ступінь парне. p> Рішення.
Позначимо число вершин графа, які мають непарну ступінь, через k , а ступеня таких вершин - відповідно через а1, А2, ..., а k . Крім того, у графа можуть бути вершини з парною ступенем; позначимо ступеня цих вершин відповідно через b 1, b 2, ..., bn .
Припустимо, що число k непарній. Підрахуємо загальне число ребер графа. Воно дорівнює [( а1 + а2 + ... + а k ) + ( b 1 + b 2 + ... + bn )]/2. p> Сума в перших круглих дужках чисельника отриманої дробу є число непарне, як сума непарного числа непарних доданків, а сума у ​​других дужках число парне. Але тоді весь чисельник - число непарне, а значить дріб не є натуральним числом. Ми прийшли до протиріччя.
3.14. Чи 15 телефонів з'єднати між собою так, щоб кожен з них був пов'язаний рівно з 11 іншими?
3.15. Дев'ять школярів, роз'їжджаючись на канікули, домовилися, що кожен з них пошле листівки п'ятьом з інших. Чи може виявитися, що кожен з них отримає листівки саме від тих друзів, яким напише сам?
3.16. У шаховому турнірі в один коло беруть участь 17 шахістів. Чи вірно, що в будь-який момент турніру знайдеться шахіст, який зіграв до цього моменту парне число партій (може бути жодної )? br/>
Завдання на обведення контуру фігури безперервної лінією
3.17. У 18 столітті місто Кенігсберг ( нині Калінінград у складі нашої країни) був розташований на берегах рі...
