3 {(0, 0, 0)} задовольняє отриманому проективному рівнянню, то йому задовольняє будь-який представник класу ( X: Y : Z ). Таким чином можна сказати, що проективна точка ( X: Y : Z ) лежить на кривій E . Проективні точки з P ( K ) 0 , що лежать на кривій E , будуть нескінченно віддаленими точками.
Для зручності викладу подальшого матеріалу, введемо деякі позначення. Будемо позначати представлені системи координат прописними літерами латинського алфавіту, з можливим додаванням верхнього індексу (наприклад, аффинную систему координат будемо позначати A ). Дамо також позначення основних операцій, яке виробляється при складанні двох точок еліптичної кривої:
M - множення двох чисел,
S - зведення числа в квадрат,
I - звернення числа.
Далі, число операцій, необхідних для складання двох точок (подвоєння точки) в заданій системі координат будемо позначати наступним чином:
t ( X 1 + X 2 = X 3 ) = nM + kS + lI , де n - число необхідних множень, k - число необхідних возведений в квадрат, l - число необхідних звернень, X 1 і X 2 - використовувані системи координат для першої та другої точки відповідно, X 3 - система координат результуючої точки (якщо X 1 = X
