m z <2. br/>
В§ 3 Тригонометрична форма комплексного числа. p> Перехід від алгебраїчної форми комплексного числа до тригонометричної і назад.
Повторити з учнями алгебраїчну форму комплексного числа; геометричну інтерпретацію комплексного числа; модуль комплексного числа і основні співвідношення, пов'язані з ним.
Нехай точка А відповідає комплексному
числу z = a + bi. Тоді довжина вектора ОА називається
модулем числа z, а Радіанна міра кута,
утвореного цим вектором з
позитивним напрямком дійсної осі, - аргументом комплексного числа Z. Причому величина кута вважається позитивною, якщо відлік ведеться проти годинникової стрілки, і негативною, якщо відлік проводиться за годинниковою стрілкою. Модуль позначається/z/= r, а аргумент - Argz = j (див. рис. 2). p> Для числа z = 0 аргумент не визначається, але в цьому і тільки в цьому випадку число задається тільки своїм модулем. Якщо комплексне число є дійсним, то відповідний йому вектор розташований на дійсній осі, і поняття/z/співпадає з відомим поняттям модуля дійсного числа.
Завданням модуля і аргументу комплексне число визначається однозначно. Але аргумент комплексного числа, на відміну від модуля, визначається не однозначно. Будь-які два аргументу комплексного числа відрізняються один від одного доданком, кратним 2p.
На рис. 2 ми бачимо, що sin j = b/r, а cos j = a/r, звідси а = r cos j і b = r sin j, де r = Г–a 2 + b 2 , т.ч. дійсна і уявна частини комплексного числа z = a + bi виражаються через його модуль/z/= r і аргумент j. Отже, комплексне число z може бути записано у вигляді z = r cos j + ir sin j = r (cos j + i sin j) - тригонометрическая форма запису комплексного числа.
Корисно скласти з учнями алгоритм переходу з алгебраїчної форми комплексного числа в тригонометричну:
1 Знайти радіус r = Г–a 2 + b 2
2 Обчислити tg j 1 = | b/a |. p> 3 За знакам a і b визначити чверть, в якій знаходиться число z.
4 Знайти j, причому, якщо число знаходиться:
а) в I чверті, то j = j 1 ;
б) в II чверті, то j = p - j 1 ;
в) в III чверті, то j = p + j 1 ;
г) в IV чверті, то j =-j 1 , або j = 2p-j 1 .
5 Записати комплексне число в тригонометричної формі:
z = R (cos j + i sin j).
Або, щоб не виробляти зайвих обчислень, для того щоб знайти значення для j по відомим значенням sin j і cos j, заповнимо таблицю і будемо нею користуватися:
j
0
p 6
p 4
p 3
p 2
p
5 p 6
3 p 4
2 p 3
3 p 2
4 p 3
4 p 4
7 p 6
5 p 3
7 p 4
11 p 6
2p
sinj
0
1 2
Г– 2 2
Г– 3 2 /Td>
1
0
1 2
Г– 2 2
Г– 3 2
-1
- Г– 3 2
- Г– 2 2
-1 2
- Г– 3 2
- Г– 2 2
-1 2
0
cosj
1
Г– 3 2
Г– 2 2
1 2
0
-1
- Г– 3 2
- Г– 2 2
- 1 2
0
-1 2
- Г– 2