ки електричних кіл змінного струму в тригонометричної формі або за допомогою векторних діаграм застосовуються на практиці тільки у разі відносно простих схем, що не містять великої кількості контурів і джерел, індуктивних зв'язків тощо
Принаймні ускладнення електричних схем виникають значні труднощі виробництва розрахунків у тригонометричної формі або за допомогою векторних діаграм, і виникає гостра потреба у розрахунковому методі, що дозволяє алгебраїчним шляхом розраховувати електричні кола змінного струму. p align="justify"> Таким зручним розрахунковим методом є метод комплексних амплітуд (комплексний або символічний метод), заснований на застосуванні комплексних чисел. Цей метод є по суті алгеброю сучасної електротехніки і радіотехніки, в той час як метод векторних діаграм є їх геометрією ,
В
В
Відомо, що комплексне число зображається на комплексній площині точкою, причому в прямокутній системі координат віссю абсцис служить дійсна, а віссю ординат-уявна вісь. br/>
a) б)
Рис. 3.17 Геометричне зображення комплексного числа
Так, на рис. 3.17а точка з координатами і зображує комплексне число
, де.
Комплексне число можна умовно позначати через
(3.48)
Вираз (2.6) являє собою алгебраїчну форму запису комплексного числа.
Як відомо, кожна точка на комплексній площині визначається радіус-вектором цієї точки, тобто вектором, початок якого збігається з початком координат, а кінець знаходиться в точці, що відповідає заданому комплексному числу (рис. 2.4, б) .
Користуючись полярної системою координат, записуємо комплексне число
в так званій показовою формі:
(3.49)
Тут - модуль, - аргумент або фаза. p> З урахуванням того, що
; , отримуємо
; (3.50)
Відповідно, тригонометрическая форма запису комплексного числа має вигляд:
(3.51)
Два комплексних числа вважаються рівними, якщо рівні окремо їх дійсні та уявні частини. Геометрично це означає рівність векторів, що зображують комплексні числа. p> Поняття більша і менше застосовні тільки до координат комплексних чисел, модулям, фазах, тоді як для самих комплексних чисел ці поняття не існують.
Зручність застосування тієї чи іншої форми запису комплексних чисел залежить у кожному окремому випадку від тих математичних операцій, які належить здійснити над комплексними числами.
Так, при додаванні або вирахуванні комплексних величин користуються алгебраїчної (або тригонометричної) формою запису комплексного числа:
(3.52)
У геометричній інтерпретації для отримання вектора, який зображує суму або різницю комплексних чисел, слід скласти або відняти вектори, що зображують ці числа, за правилом дій над векторами.
При множенні або діленні комплексних величин найбільш зручно користуватися показовою формою запису комплексного числа.
(3.53)
(3.54)
Як видно з (2.10) і (2.11), модуль добутку дорівнює добутку модулів співмножників, аргумент добутку дорівнює сумі їх аргументів; модуль приватного дорівнює приватному модулів діленого і дільника, аргумент приватного дорівнює різниці їх аргументів.
У геометричній інтерпретації вектор, що зображає твір на В, виходить поворотом вектора А проти годинникової стрілки на кут ? (аргумент вектора В) і множенням його на В.
Відповідно, вектор, що зображає частка від ділення А на В, виходить поворотом A за годинниковою стрілкою на кут ? і діленням його на В.
Два комплексних числа (або вектора) називаються взаємно сполученими, якщо їх модулі рівні, а аргументи рівні за величиною і зворотні за знаком; інакше кажучи, пов'язані комплексні числа відрізняються один від одного тільки знаком уявної частини:
(3.55)
У геометричній інтерпретації точки, що зображують сполучені числа, розташовані симетрично щодо дійсної осі. p> Парні комплексні числа володіють тим важливою властивістю, що про бо Він вивів їх дає дійсне число, рівне квадрату модулів співмножників:
(3.56)
Інакше кажучи, точки, що зображують твір сполучених комплексних чисел, розташовуються по дійсній осі. p> При користуванні алгебраїчної формою запису комплексних чисел добуток двох комплексних чисел має вигляд
(3.57)
Відповідно, поділ двох комплексних чисел, вироблене за допомогою множен...
