емо розглядати правильні багатогранники та їх групи симетрій. Відомо, що ці групи симетрій зазвичай є ізоморфними деяким підгруп групи підстановок. Тобто можна дати аксіоматичне визначення такої групи. Але можна дати визначення на основі породжують співвідношень. p> Наприклад, Гамільтон (1856) показав, що група ікосаедра може породжуватися трьома елементами: залежно від відносин
В
Це означає, що кожен елемент групи ікосаедра є твором і будь-яке співвідношення між слід зазначених співвідношень.
Дік у вище згадуваній роботі 1882 дав схожі уявлення груп куба і тетраедра.
Таким чином, ми побачили, що групи правильних багатогранників були першими, які визначили на основі породжують елементів і співвідношень. Однак, з кінцевими групами, такими як ці, займаєшся, головним чином, простотою і елегантністю подання; питання про існування не виникає. Що стосується будь-якої кінцевої групи G, можна тривіально отримати кінцеве безліч породжують елементів (а саме, всіх елементів g1, .., gn групи G). і визначальних співвідношень (а саме, всіх рівнянь gi * gj = gk, що виконуються серед породжують елементів). І звичайно, той же аргумент дає нескінченну безліч породжують елементів і визначальних співвідношень для нескінченної групи, але це також нецікаво. Реальна проблема полягає в тому, щоб знайти кінцеві безлічі породжують елементів і визначальних співвідношень для нескінченних груп, де можливо. p> Вперше це завдання було вирішено для груп симетрії деяких правильних мозаїк студентом Клейна, Діком, і такі приклади були основою першого систематичного вивчення породжують елементів і співвідношень.
Узагальнюючи ідеї Діка, Пуанкаре (1882) показав, що групи симетрії всіх правильних мозаїк, будь то сфери, евклідової площині або гіперболічної площині, молено уявити кінцевим числом породжують елементів і співвідношень. Ці результати також були важливі для топології. p> Згодом більш простий підхід до комбінаторному визначенням групи можна зустріти у Дена і Магнуса (1930). Група G у них визначається безліччю {a1, .., an, ...} породжують елементів і безліччю {W1 = W1; W2 = W2; ...} визначальних співвідношень. Кожен породжує елемент ai називається буквою; ai має зворотний елемент ai-1 і довільні кінцеві послідовності (В«твориВ») букв і зворотних букв називаються словами. p> Слова W, W називаються еквівалентними, якщо W = W - слід-ствие визначальних співвідношень, тобто, якщо W можна звернути в W послідовністю замін Підшар Wi на Wi (або навпаки) і скороченням (або вставкою) Підшар ai * ai -1, ai-1 * ai. Елементи G - класи еквівалентності: [W] = {W: W еквівалентно W},
Твір елементів [U], [V] визначається:
[U] [V] = [UV]
де UV позначає результат з'єднання в ланцюг слів U, V.
4.7 Теорія груп в СРСР (з 1916 року за 60-ті роки)
У попередніх розділах ми розглянули загалом, деякі напрямки розвитку теорії груп і діяльність математиків, що поклали почато...
