ця B , складена з коефіцієнтів при керуючих параметрах. p> З цією метою покладемо
(2.14)
Це означає, що замість r керуючих параметрів u 1 , ..., u r вводяться n інших керуючих параметрів v 1 , ..., v n , завдяки чому система (2.1) замінюється наступною:
В
або у векторній формі,
Потрібно тільки з'ясувати, в яких межах може змінюватися точка v = ( v 1 , v 2 , ..., v n ). Зручно вважати, що ця точка v = ( v 1 , v 2 , ..., v n ) розташована в тому ж просторі X , що і точка x = ( x 1 , ..., x n ).
Співвідношення (2.14) визначають лінійне відображення r- мірного простору змінних u 1 , ..., u r в фазовий простір X . Образом багатогранника U при відображенні (2.14) є деякий опуклий багатогранник в просторі X , який ми позначимо через V .
Таким чином, отримуємо два лінійних рівняння:
(2.15)
(2.16)
Г л а в а III
СИНТЕЗ Оптимального керування для рівнянь другого порядку
В§ 6. Рішення задачі синтезу у разі комплексних власних значень
14. Задача синтезу для малих коливань маятника. Тут буде дано повне рішення задачі синтезу оптимальних управлінь для лінійних об'єктів, описуваних рівняннями другого порядку. Фазовий простір X в цьому випадку являє собою площину.
Розглянемо коливання плоского маятника. Як відомо коливання маятника, підвішеного до точці опори, описується диференціальним рівнянням другого порядку:
(у нашому випадку покладемо ОІ = 1)
при малих коливаннях маятника SinП† ≈ П† тоді рівняння руху маятника запишеться у вигляді:
(3.1)
Керуючий параметр u (скалярний) будемо припускати мінливих в межах -1 ВЈ u ВЈ 1.
НехайВ - Кут відхилення, а - швидкість маятника. Тоді рівняння (3.1) перепишеться у вигляді такої нормальної системи:
(3.2)
На площині x 1 , x 2 В«багатогранникВ» U буде представлятися відрізком [- 1, 1], розташованим на осі x 2 . Легко бачити, що вісь x 2 не є власним інваріантним підпростором матриці A , яка для системи (3.2) має вигляд:
A =,
і тому умова спільності положення завжди виконано.
Знайдемо власні значення матриці A . Для цього складемо характеристичне рівняння | О»E в”Ђ A | = 0, тобто О» 2 + О» +1 = 0. Звідки знаходимо, що власні значення матриці A такі:
В...
