є результат багаторазового застосування перетворення виду (1) і отримує вирази, в яких операція omn. нашаровується кілька разів, змусило його шукати більш зручне позначення, і в записі від 29 жовтня ми читаємо: корисно писати замість omn., так що буде замість omn. (- Це початкова літера слова summa і Лейбніц називає цей знак сумою). І для нового обчислення, як у тій же записи виражається Лейбніц, маємо
,, =,.
Перше з цих співвідношень відповідає перетворенню (1), а, b - постійні, риса зверху грає роль дужки, і вона, власне, зайва, та й Лейбніц НЕ завжди її пише, але її, нехай несистематичної, поява характерно: так, в запису х ми бачимо, що пише, здається необхідним додатково вказати, що на х дійсно множаться все, зібрані в суму знаком. Лейбніц далі записує (З приводу формул (2) та їх варіантів): В«Це досить ново і примітно, оскільки вказує на новий вид числення В», і переходить до зворотного обчисленню (contrario calculo), вводячи символ d, який В«зменшує вимір так, як збільшуєВ», але пише його в знаменнику (Не dy, ay/d).
Тут же читаємо: позначає суму, d - різниця. Ні-скількома днями пізніше, в рукописі, поміченої 10 листопада, Лейбніц записує: В«dx - те ж саме, що x/d, тобто різниця між двома найближчими В».
Чудово те, що Лейбніц відразу, ввівши нове позначення, починає з ним поводитися як з символом операції, відокремлюючи його від об'єкта операцій: він відразу відзначив, що його В«СумаВ» від (двох) доданків дорівнює сумі В«сумВ» доданків і що постійний множник або дільник можна виносити за знак В«сумиВ». У записах після-дмуть днів (від 1, 10, 11 листопада) він відзначає такі ж властивості операції, позначеної через d. За ці дні Лейбніц переконався, що d (xy) не те ж саме, що dx Г— dy, і що d (x/y) В№ dx/dy, але не вивів ще відповідних формул. Відзначив він і що, звичайно, не те ж саме, що. Він вже систематично використовує зворотної дії і d, наприклад, після рівності він пише: або wz = y 2 /2d (тут d ще в знаменнику). Відзначені їм вже формули для похідної степеневої функції при цілих показниках ступеня, наприклад, В«з квадратури трикутника ясно, що y 2 /2d = у; = з квадратури параболи В».
А в тому, що він відкриває тут щось вельми істотне, Лейбніц, ймовірно, остаточно переконався, коли зміг використати поки як би намацує їм алгоритм при вирішенні завдань на зворотний метод дотичних. Він писав: В«Ще торік я поставив перед собою питання, який можна віднести до труднейшим у всій геометрії, оскільки поширені досі методи тут майже нічого не дають. Сьогодні я знайшов його рішення і я приведу його аналіз В». p> Своє завдання Лейбніц формулює як визначення кривої, у якої поднормалі назад пропорційні ординатам. Така задача зводиться, в сучасних позначеннях, до вирішення диференціального рівняння ydy/dx = k/y, де k - постійна. Рішення Лейбніца складається по суті в складанні такого рівняння і подальшому його інтегруванні за допомогою розділення змінних. Він отримав, т...
