ції:
В
Геометричний сенс диференціала
Геометрично прирощення D у функції f (x) в точці х - є прирощення ординати точки на кривій, а диференціал dy функції у цій точці - прирощення ординати відповідної на дотичній.
Застосування диференціала в наближених обчисленнях
При досить малих значеннях D х приріст функції D у В» dy, тобто
В
Чим менше значення D х, тим точніше ця формула.
Диференціали вищих порядків
Диференціалом другого порядку (або другим диференціалом) функції y = f (x) називається диференціал від диференціала першого порядку цієї функції. Тобто p> Диференціалом n-го порядку називається диференціал від диференціала (n-1)-го порядку цієї функції, т.е
ТЕМА 7. Властивості функцій, що диференціюються
Теореми про середню
Теорема (Ролля). Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [ а, в ] , дифференцируема на інтервалі (а, в) і приймає на кінцях відрізка рівні значення (тобто f (a) = f (b)). Тоді існує принаймні одна точка с на інтервалі (а, в), для якої f Вў (c) = 0.
Теорема Лагранжа. Нехай функція f (x) неперервна на відтинку [ а; в ] і дифференцируема на інтервалі (а, в). Тоді на інтервалі (а, в) знайдеться така точка с, що
f (b) - f (a) = f Вў (c) (b - a).
Теорема (Коші). Нехай функції f (x) і g (x) неперервні на відрізку [ а; в ] і діфференцируєми на інтервалі (а, в), причому g (x) В№ 0 для всіх х ГЋ (а, в). Тоді знайдеться така точка с на цьому інтервалі, що
В
Правило Лопіталя. Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їх похідних (кінцевому або нескінченному), якщо останній існує у зазначеному сенсі:
В
Таким чином, правило Лопіталя використовується для розкриття невизначеностей вигляду або.
Правило Лопіталя можна застосовувати також і для розкриття невизначеностей виду [0 Г— ВҐ]. Для цього твір f (x) g (x) слід записати у вигляді (або), отримати невизначеність виду або. p> Якщо є невизначеність виду або, при обчисленні границі функції, те логарифм цієї функції являє собою невизначеність виду [0 Г— ВҐ]. При цьому використовується співвідношення:
.
Формула Тейлора. Нехай функція f (x) має в деякій околиці точки х0 похідні Тоді для будь-якої точки х з цієї околиці має місце рівність
В
при х В® х0.
Ця формула називається формулою Тейлора із залишковим членом у формі Пеано. Останній доданок (тобто залишковий член) у формулі Тейлора іноді записують у вигляді:
.
Відповідна формула тоді називається формулою Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа.
У разі х0 = 0 формула Тейлора приймає вигляд:
,
при х В® 0 і називається формулою Маклорена.
Корисно пам'ятати розкладання за формулою Маклорена деяких найважливіших елементарних функцій:
В В В В В
ТЕМА 8. Дослідження функцій
Умови монотонності функції
Якщо функція f (x) диференційовна на інтервалі (a; b) і f Вў (x)> 0 (f Вў (x) <0) x ГЋ (a; b), то f (x) зростає (відповідно убуває) на цьому інтервалі.
Якщо ж f Вў (x) Ві 0 (f Вў (x) ВЈ 0) x ГЋ (a; b), то функція f (x) не убуває (відповідно, не зростає) на інтервалі (a; b) , тобто x1, x2 ГЋ (a; b) з х1 <х2 слід f (x1) ВЈ f (x2) (відповідно, f (x1) Ві f (x2)).
Екстремум функції
Точка х0 називається точк...
