ою максимуму (мінімуму) функції f (x), якщо існує інтервал, що містить точку х0, такою, що для всіх х з цього інтервалу має місце нерівність f (x0) Ві f (x), (f (x0) ВЈ f (x)). Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.
Необхідна умова екстремуму: в точці екстремуму функції її похідна або дорівнює нулю (f Вў (x) = 0) , або не існує.
Перше достатня умова екстремуму: якщо в точці х0 функція y = f (x) неперервна, а похідна f Вў (x) при переході через точку х0 змінює знак, то точка х0 - точка екстремуму: максимуму, якщо знак змінюється з В«+ В»наВ« - В», і мінімуму, якщо зВ« - В»наВ« + В».
Якщо при переході через точку х0 похідна не змінює знак, то в точці х0 екстремуму немає.
Друге достатня умова екстремуму: якщо в точці х0 f Вў (x0) = 0, а f Вў Вў (x0) > 0, то х0 є точкою максимуму функції. Якщо f Вў (x0) = 0, а f Вў Вў (x0) < 0, то х0 є точкою мінімуму функції.
Випуклість графіка функції. Точки перегину
Функція y = f (x) називається опуклою вгору (вниз) на проміжку, якщо для будь-яких двох значень х1, х2 із цього проміжку виконується нерівність:
В
Точки, що розділяють інтервали опуклості, називаються точками перегину.
Якщо друга похідна f Вў Вў (x) функції y = f (x) позитивна (негативна) на проміжку , то функція є опуклою вниз (вгору) на цьому проміжку.
Якщо х0 - точка перегину функції y = f (x) і f Вў Вў (x0) існує, то f Вў Вў (x0) = 0.
Якщо 2-а похідна f Вў Вў (x) змінює знак при переході через точку х0, то точка х0 є точкою перегину функції y = f (x).
Асимптоти
1. Пряма називається асимптотой графіку функції y = f (x), якщо відстань від точки (x, f (x)) до цій прямій прагне до нулю при необмеженому видаленні крапки графіка від початку координат. p> Асимптоти бувають вертикальними, горизонтальними і похилими.
. Пряма х = х0 є вертикальною асимптотой графіка функції y = (x), якщо хоча б один з меж (правобічний або лівобічний) дорівнює В± ВҐ. p>. Пряма y = b є горизонтальною асимптотой, якщо
. Якщо і то пряма y = kx + b є похилій асимптотой графіка функції y = f (x). p> Загальна схема дослідження функцій і побудови графіків
1) знайти область визначення функції;
2) досліджувати функцію на парність - непарність;
) знайти вертикальні асимптоти;
4) дослідити поведінку функції в нескінченності; знайти горизонтальні та похилі асимптоти;
5) знайти екстремуми та інтервали монотонності функції;
6) знайти інтервали опуклості функції і точки перегину;
7) знайти точки перетину графіка функції з осями координат і, можливо, деякі додаткові точки, уточнюючі графік.
ТЕМА 9. Комплексні числа
Основні поняття
Комплексним числом називається вираз виду z = x + iy, де х і у-дійсні числа, i-мнима одиниця (). Число x = Re (z) називається дійсною частиною числа z, а число y = Im (z) - уявною частиною числа z. p> Два комплексних числа z1 = x1 + iy1 і z2 = x2 + iy2, рівні, якщо х1 = х2; у1 = у2.
z = 0, якщо х = 0, у = 0.
Числа z = x + iy і називаються сполученими.
Арифметичні операції над комплексними числам...
