Слідство. Якщо функція y = f (x) неперервна на відрізку [ а; в ] і на його кінцях приймає значення різних знаків, то всередині відрізка [ а; в ] знайдеться хоча б одна точка c, в якій дана функція f (x) звертається в нуль: f (c) = 0 .
ТЕМА 6. Похідна і диференціал функції однієї змінної
Визначення похідної
Похідній функції y = f (x) називається кінцевий межа приросту функції до приросту аргументу при прагненні останнього до нуля (за умови, що ця межа існує):
В
Якщо функція в точці х0 (або на проміжку Х) має кінцеву похідну, то функція називається диференційованою в цій точці (або на проміжку Х).
Таблиця похідних
1. (с) Вў = 0, c = const;
2. (Де aГЋR);
.> 0, зокрема
.
.
.
.
8.
9.
.
.
.
Основні правила диференціювання
з - постійна, u (x) і v (x) - диференціюються функції:
з Вў = 0; х Вў = 1; (uvw) Вў = u Вў vw + uv Вў w + uvw Вў ;
(u В± v) Вў = u Вў В± v Вў;
(u Г— v) Вў = u Вў v + uv Вў;;
(cu) Вў = cu Вў;
Нехай функція u = j (x) має похідну в точці х0, а функція y = f (u) - у точці u0 = j (x0). Тоді складна функція y = f (j (x)) також має похідну в точці х0, причому
y ¢ (x0) = y ¢ (u0) × u ​​¢ (x0).
Якщо y = f (x) - дифференцируемая і строго монотонна функція на проміжку Х, то функція обернена до даної х = j (у), також дифференцируема і її похідна визначається співвідношенням:
y Вў x В№ 0.
Геометричний зміст похідної
Нехай функція y = f (x) має похідну в точці х0. Тоді існує дотична до графіка цієї функції в точці М0 (х0, у0), рівняння якої має вигляд
у - у0 = f Вў (x0) (x - x0).
При цьому f Вў (x0) = tg a , де a- кут нахилу цієї дотичної до осі Ох.
Пряма, через точку дотику, перпендикулярно дотичній, називається нормаллю до кривої і має рівняння
В
Похідна неявної функції
Нехай функція y = y (x), що володіє похідної в точці х, задана неявно рівнянням
F (x, y) = 0.
Тоді похідну y Вў (x) цієї функції можна знайти, продифференцировав це рівняння (при цьому у вважається функцією від х), і дозволяючи потім отримане рівняння відносно у Вў .
Похідні вищих порядків
Похідна від функції f Вў (x) називається похідною другого порядку від функції f (x) (або другої похідної) і позначається
Аналогічно визначаються похідна третього порядку (або похідна), що позначається і т.д.
Похідна n-го порядку позначається
Диференціал функції
Прирощення Dу диференціюється y = f (x) можна представити у вигляді де f Вў (x)-похідна функції f (x), Dx-прирощення незалежної змінної; a (D х)-нескінченно мала величина.
Диференціалом (першого порядку) функції y = f (x) називається головна, лінійна відносно D х частина приросту функції, що дорівнює добутку похідної на прирощення незалежної змінної:
В
Диференціал незалежної змінної дорівнює приросту цієї змінної
dx = D x.
Тому диференціал функ...
