> Таким чином, кожна незалежна повторна вибірка обсягу є реалізація випадкового-мірного вектора з незалежними і однаково розподіленими компонентами.
. Визначення точкової оцінки (статистики) та основні вимоги, що пред'являються до точкової оцінці (Незміщеність, спроможність, ефективність)
Точкова оцінка в математичній статистиці - це число, яке обчислюється на основі спостережень, імовірно близьке оцінюваному параметру. Нехай - вибірка з розподілу, залежного від параметра qГЋ Q. Тоді статистику називають точковою оцінкою параметра. p> Існує кілька методів визначення оцінок. Найбільш поширений метод максимальної правдоподібності, теоретично обгрунтований математиком Р. Фішером. Ідея методу полягає в наступному. Вся отримується в результаті багаторазових спостережень інформація про справжній значенні вимірюваної величини і розсіюванні результатів зосереджена в ряді спостережень, де n - число спостережень. Їх можна розглядати як n незалежних випадкових величин з однієї і тієї ж диференціальної функцією розподілу. Ймовірність отримання в експерименті деякого результату, що лежить в інтервалі, де - деяка мала величина, дорівнює відповідному елементу ймовірності. p> Незалежність результатів спостережень дозволяє знайти апріорну ймовірність появи одночасно всіх експериментальних даних, тобто всього ряду спостережень як добуток цих ймовірностей:
В
Якщо розглядати Q і як невідомі параметри розподілу, то, підставляючи різні значення Q і в цю формулу, ми будемо отримувати різні значення ймовірності при кожному фіксованому ряді спостережень. При деяких значеннях і ймовірність отримання експериментальних даних досягає найбільшого значення. Відповідно до методу максимальної правдоподібності саме ці значення і приймаються в якості точкових оцінок істинного значення і середньоквадратичного відхилення результатів наблюденій.Такім чином, метод максимальної правдоподібності зводиться до відшукання таких оцінок і, при яких функція правдоподібності досягає найбільшого значення. Постійний співмножник не робить впливу на рішення і тому може бути відкинутий. Отримані оцінки і справжнього значення і середньоквадратичного відхилення називаються оцінками максимальної правдоподібності. p> Поряд з методом максимальної правдоподібності при визначенні точкових оцінок широко використовується метод найменших квадратів. У відповідності з цим методом серед деякого класу оцінок вибирають ту, яка володіє найменшою дисперсією, тобто найбільш ефективну оцінку. Легко помітити, що серед всіх лінійних оцінок істинного значення виду, де - деякі постійні, саме середнє арифметичне звертає в мінімум дисперсію. Тому для випадку нормально розподілених випадкових похибок оцінки, одержувані методом найменших квадратів, збігаються з оцінками максимальної правдоподібності. p> Формально статистика може не мати нічого спільного з цікавлять нас значенням параметра?. Її корисність для отримання практично прийнятних оцінок випливає з додаткових властивостей, якими вона володіє або не володіє. p> Властивості точкових оцінок:
Оцінка називається незміщеної, якщо її математичне сподівання дорівнює оцінюваному параметру генеральної сукупності:, де E позначає математичне сподівання.
Оцінка називається ефективною, якщо вона володіє мінімальною дисперсією серед усіх можливих точкових оцінок. br/>В
Оцінка називається спроможною, якщо вона за ймовірністю із збільшенням обсягу вибірки n прагне до параметру генеральної сукупності:, за ймовірністю прі.
40. Метод моментів і метод найбільшої правдоподібності для побудови точкових оцінок
Точкова оцінка в математичній статистиці - це число, яке обчислюється на основі спостережень, імовірно близьке оцінюваному параметру. Нехай - вибірка з розподілу, залежного від параметра qГЋ Q. Тоді статистику називають точковою оцінкою параметра. p> Властивості точкових оцінок:
1.Оценка називається незміщеної, якщо її математичне сподівання дорівнює оцінюваному параметру генеральної сукупності:
. Оцінка називається ефективною, якщо вона володіє мінімальною дисперсією серед усіх можливих точкових оцінок. p>. Оцінка називається спроможною, якщо вона за ймовірністю із збільшенням обсягу вибірки n прагне до параметру генеральної сукупності. p> Існує кілька методів визначення оцінок. p> Найбільш поширений метод максимальної правдоподібності, теоретично обгрунтований математиком Р. Фішером. Ідея методу полягає в наступному. Вся отримується в результаті багаторазових спостережень інформація про справжній значенні вимірюваної величини і розсіюванні результатів зосереджена в ряді спостережень, де n - число спостережень. Їх можна розглядати як n незалежних випадкових величин з однієї і тієї ж диференціальної функцією розподілу. Ймовірність отримання в експерименті деякого результату, що лежить в інтервалі, де - деяка мала величина, дорівнює відповідному елементу йм...
