іперта збігається з точкою Штейнера S.
2. Фокус параболи Кіперта розташований на описаного кола.
2.4 Застосування до вирішення завдань
Знання про кониках пов'язаних з трикутником, можуть застосовуватися в геометричних задачах, на перший погляд ні як з ними не пов'язаних. Як приклад розглянемо два завдання:
Для доказу цих тверджень, скористаємося лемою 2.2.1.
. Дан різносторонній трикутник. Доведіть, що пряма, що проходить через точки Жергонна і Нагеля, паралельна однієї зі сторін трикутника тоді і тільки тоді, коли точка Фейєрбаха лежить на медіані, що проходить через вершину, протилежну цьому боці.
Точки J і N ізотоміческі сполучені. Описана коника, що проходить через ці точки, є гіперболою Фейєрбаха, центр якої і є точка Фейєрбаха.
Користуючись лемою, отримуємо, що пряма проходить через точки J і N, паралельна стороні AC трикутника.
. Дан різносторонній трикутник. Доведіть, що пряма, через його центроид і точку Лемуана, паралельна однієї зі сторін трикутника тоді і тільки тоді, коли точка Штейнера лежить на медіані, що проходить через вершину, протилежну цьому боці.
Рішення:
Нехай пряма GK паралельна стороні НД . Розглянемо гіперболу Кіперта. Пряма GK стосується гіперболи в центроїди G . Застосуємо лему 2.2.1 для випадку, коли P співпадає з P і збігається з G ). Тоді отримаємо, що GK паралельна НД тоді і тільки тоді, коли центр гіперболи Кіперта C K лежить на медіані AA 0 (звичайно, містить і точку G ). Однак точки S
