и
1. Додавання (віднімання)
В± z2 = (x1 В± x2) + i (y1 В± y2).
2. Множення:
z1z2 = (x1x2 - y1y2) + i (x1y2 + x2y1).
Зокрема,
3. Ділення:
В
Всі арифметичні операції над комплексними числами проводяться за правилами дій над многочленами х1 + iy1 і x2 + iy2, вважаючи
Тригонометрична форма комплексного числа
В
де
- модуль комплексного числа; j - аргумент комплексного числа (Arg z)
В
З значень j = Arg z виділяється головне значення arg z, що задовольняє умові
Арифметичні операції над комплексними числами в тригонометричній формі
1. Множення:
[Cos (j1 + j2) + iSin (j1 + j2)].
2. Ділення:
В
3. Піднесення до степеня. Формула Муавра:
n-ціле число.
4. Витяг кореня:
В
де до = 0,1, 2, ..., n - 1.
Показова форма комплексного числа
В
Скористаємося формулою Ейлера:
В
Тоді - показова форма комплексного числа.
ТЕМА 10. Невизначений інтеграл
Поняття невизначеного інтеграла
Функція F (x) називається первісною для функції f (x) на проміжку Х, якщо в кожній точці х цього проміжку справедливо рівність F Вў (x) = f (x).
Сукупність усіх первісних для функції f (x) на проміжку Х називається невизначеним інтегралом від функції f (x) і позначається
В
де С - довільна постійна.
У записі f (x) називається подинтегральной функцією, а f (x) dx-подинтегральних виразом.
Знаходження невизначеного інтеграла від деякої функції називається інтегруванням цієї функції. Операції інтегрування і диференціювання взаємно протилежні. p align="justify"> Основні властивості невизначеного інтеграла
В В В
де a- деяке число;
В
Табличні інтеграли
,
де n В№ -1
В
де a> 0, a В№ 1;
В В В
де-а <х <а, а> 0;
а В№ 0,
а В№ 0;
, а В№ 0;
В В
Основні методи інтегрування
а) метод безпосереднього інтегрування:
даний інтеграл шляхом тотожних перетворень подинтегральной функції (або подинтегрального вираження) та застосування властивостей невизначеного інтеграла наводиться до одного або кількох табличним інтегралам.
б) метод заміни змінної:
нехай x = j (t) - функція дифференцируемая на розглянутому проміжку. Тоді
В
Ця формула називається формулою заміни змінної у невизначеному інтегралі.
в) метод інтегрування частинами:
нехай u = u (x) і v (x) - безперервно диференціюються функції. Тоді справедлива формула:
В
Ця формула називається формулою інтегрування частинами.
Інтегрування раціональних дробів
Раціональної дробом називається вираз виду де Р (х) і Q (x)-многочлени.
Раціональна дріб називається правильною, якщо ступінь багаточлена Р (х) в її чисельнику менше ступеня многочлена Q (x) в знаменнику. В іншому випадку дріб називається неправильною. p> Всякая неправильна раціональна дріб за допомогою ділення чисельника на знаменник приводиться до вигляду:
де
многочлен (ціла частина при діленні), а правильна раціональна дріб (залишок).
Тому
Так як інтеграл обчислюється елементарно (зводиться до суми та...
