бличних), то інтегрування неправильного дробу зводиться до інтегрування правильного дробу. Інтегрування правильної раціональної дробу зводиться, в свою чергу, до інтегрування найпростіших дробів. br/>
ТЕМА 11. Певний інтеграл
Певний інтеграл як границя інтегральної суми
Нехай функція y = f (x) задана на відрізку [а, в]. Розіб'ємо відрізок [а, в] на n елементарних відрізків точками х0 = а <х1 <х2 <... <хn = b. У кожному з відрізків розбиття виберемо довільну точку xi і покладемо Dxi = xi-xi-1, де i = 1,2, ..., n. Тоді сума виду:
(1) називається інтегральною сумою для функції y = f (x) на відрізку [а, в].
Нехай існує і кінцевий межа S інтегральної суми (1) при прагненні до нуля довжини максимального елементарного відрізка Dxi, що не залежить від способу розбиття відрізка [а, в] на частини і способу вибору точок xi на відрізках розбиття. Тоді функція y = f (x) називається интегрируемой на [а, в], а число S - певним інтегралом від f (x) на [а, в] і позначається
(2)
Достатньою умовою інтегровності функції є її безперервність на розглянутому відрізку.
Властивості визначеного інтеграла
1) де a - деяке число.
)
)
)
)
) Теорема про середню. Якщо функція y = f (x) неперервна на відрізку [а, в], то знайдеться таке значення xГЋ [а, в], що
В
) Якщо функція y = f (x) - парна, то
В
Якщо функція y = f (x) - непарна, то
В
Формула Ньютона-Лейбніца
Певний інтеграл від неперервної на відрізку [ а, в ] функції f (x) дорівнює приросту будь-який її первообразной F (x) на цьому відрізку:
або (в іншій записи)
.
Заміна змінної у визначеному інтегралі
Якщо функція j (t) має неперервну похідну на відрізку [a; b], і функція f (x) неперервна в кожній точці х = j (t), де tГЋ [a; b], то
В
Інтегрування по частинах певного інтеграла
Якщо функції u = u (x) і v = v (x) мають безперервні похідні на відрізку [ а , в ] , то
В
Геометричне додаток певного інтеграла
Площі плоских фігур
1. Якщо функція f (x) неотрицательна на відрізку [ а, в ] , те площа S під кривою y = f (x) на [ а, в ] (площа криволінійної трапеції , обмеженою кривою y = f (x) і прямими x = a, x = b, y = 0) чисельно дорівнює визначеному інтегралу від f (x) на даному відрізку:
(3) (геометричний сенс певного інтеграла).
2. Якщо функція y = f (x) непозитивним на відрізку [ а, в ] , то площа S над кривою y = f (x) на < span align = "justify"> [ а, в ] дорівнює визначеному інтегралу від f (x) на [ а, в ] , взятому зі знаком В«мінусВ»:
(4)
Формули (3) і (4) можна об'єднати в одну
В
. Якщо на відрізку [а, в], то площа S фігури, укладеної між кривими y = f2 (x) і y = f1 (x) на цьому відрізку, визначається формулою
В
Обсяги тіл обертання
Якщо функцію y = y (x) знакопостоянна на відрізку [ а, в ] , те обсяг Vx тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями y = y (x), x = a, x = b, y = 0, обчислюється за формулою
В
Наближене обчислення певного інтеграла
Нехай функція y = f (x) задана на відрізку [ а, в ] і цей відрізок розбитий на n рівних частин точками а = х0 < х1 < ... < хn = в
xi ...
