чивши параметр З з системи:
(x, у, С)=0, f 'c (х, у, С)=0.
лінія вектор нормаль дотична
2. Практична частина
Завдання № 1
У якій точці дотична до параболи y=x 2 утворює з віссю Ox кут 45 0?
Рішення:
y-y 0=f? (x-x 0)
x 0=1
x0=
y0=
M (;)
y -=x-
y=x -
Відповідь: y=x -
Завдання № 2
Чи може кут нахилу дотичної в деякій точці лінії y=x3 до осі Ox дорівнювати 3?/4?
Рішення:
f? (x0)=tg?=- 1
x2=- 1
x2=- 1/3
Отже немає рішення, а значить не може.
Завдання № 3.
Доведіть, що тільки одна нормаль лінії y=xn (n- ціле позитивне число) проходить через початок координат
Рішення:
(x-x0) + (y-y0) f? (x0)=0
(x-x0) + (y-y0) nx0n - 1=0
X=0-нормаль
Корінь: x=0; y=0;
Отже проходить через початок координат.
Завдання №4.
Доведіть, що для будь-якої точки M рівносторонній гіперболи x 2 -y 2=a 2 відрізок нормалі від точки M до точки перетину з віссю Ox конгруентний відрізку OM
Рішення:
y2=a2-x2=(x-a) (x + a);
y=f (x0) + f? (x0) (x-x0)
=
=
y=+ - рівняння дотичної KM
=
=
x=
K ()
=
=
y=
y -=
при y=0
=
x=
L ()
=
Завдання №5.
Доведіть, що дотичні до кардіоїд r=2a (1-cos?), проведені в кінцях хорди, що проходить через полюс, взаємно перпендикулярні
Рішення:
=
=
=
Отже, взаємно перпендикулярні.
Завдання №6.
Доведіть, що кут ?, складений дотичній в довільній точці лемніскати Бернуллі з радіус-вектором точки дотику, дорівнює 2? +, Де - полярний кут точки дотику. На основі цієї властивості вкажіть спосіб побудови дотичної та нормалі в довільній точці лемніскати
Рішення:
потрібно довести
т.к. XPO - равноб., А пряма XO і PO-симетричні відносно, отже lt; PXO= lt; XOP=? =, що потрібно було довести.
Завдання №7.
Знайдіть лінії, у яких довжина поднормалі постійна і дорівнює k
Рішення:
QN-поднормаль
QN=
Отже
k=
f (x)=
y=±
Завдання №8.
QT-подкасательная
QT=
Отже f (x)=- k
f=
Завдання №9.
Покажіть, що площа S, обмежена трактриса і віссю абсцис, конечна
Рішення:
Рівняння трактриса
x=
x=
y=
S=
Отже площа трактриса обмежена.
Завдання №10.
Знайдіть криві, у яких довжина полярної подкасательной постійна і дорівнює k
TO-подкасательная
MN == k=
Завдання №11.
Знайдіть криві, у яких довжина полярної поднормалі постійна
Рішення:
ON-поднормаль=
Висновок
В ході курсової роботи, за допомогою запропонованої теорії, були вирішені поставлені завдання.
Список літератури
1. Збірник задач з диференціальної геометрії Феденко А.С.
Амінов Ю.А. Диференціальна геометрія кривих.
. Феденко А.С. Диференціальна геометрія.
