="justify"> АВ дорівнює м. Нам нужно візначіті Цю Довжину помощью вимірювання. За одиницю довжина візьмемо 1 м. Спочатку відкладаємо відрізок довжина 1 м на відрізку АВ Стільки разів, скільки ВІН вміщується Повністю. У нашому випадка 1 м вміщується Повністю на АВ только один раз. Залішається ще відрізок А 1 У , довжина которого м. Отже, набліжено АВ =1 м. У разі спожи можна дістаті точніше значення. Відрізок, что дорівнює м, вміщується Повністю на відрізку А 1 У одне раз и залішається галі відрізок А 2 В, что має Довжину м.
Тому більш точне значення АВ є сума (1+) м. После n кроків матімемо таке набліжене значення АВ :
1 +
Це значення при довільному n
S n =1 + = (1 ) .
Здається, что для знаходження точного значення довжина відрізка АВ треба Розглянуто торбу нескінченної кількості доданків
1 + + .... (1)
Альо Цю суму можна дістаті помощью звічайна Додавання, бо Додавання нескінченної кількості доданків Ніколи нельзя скінчіті.
Зауважімо, что Різниця между Довжина м та результатом вимірювань S n м дорівнює:
.
Пригадай Означення границі, можна твердити, что
Отже, у Розглянуто випадка торбу нескінченної кількості доданків (1) слід візначіті як границю послідовності S 1, S 2, ..., S n, ....
Означення. Нехай а 1, а 2, ..., а n, ... є довільна послідовність чисел. Вирази а 1 + а 2 + ... + а n + ... назівається поруч . Послідовність S 1=a 1, S 2=a 1 + a 2, S n=a 1 + + a 2 + ... + an, ... назівається послідовністю Частинами сум . Если послідовність S 1, S 2, ..., S n, ... має границю S, то вважатімемо, что ряд
а 1 + а 2 + ... + а n + ...
збігається , а его сума дорівнює числу S. У цьом випадка запішемо:
а 1 + а 2 + ... + а n + ...=S
Если послідовність S 1, S 2, ..., S n, ... не має границі, то говорітемо, что ряд
а 1 + а 2 + ... + а n + ...
розбігається.
Приклад 1 . Ряд 3 + має торбу. Справді, для частінної суми S n маємо:
S n=3 + ... +=3 (1 + ... +)=3=(1-).
Тому
.
Приклад 2 . Ряд
1 + 2 + 3 + ... + n + ...
розбігається. Справді, для частінної суми маємо:
=1 + 2 + ... + n n,
звідки віпліває, что необмежено растет вместе с n .
Приклад 3 . Ряд
розбігається, бо послідовність Частинами сум 1, 0, 1, 0, 1, ... не має границі.
Приклад 4 . Доведемо, что
.
Для доведення зауважімо, что
,
та розглянемо Частинами суму:
=
Тому
2.2 Основні властівість монотонної послідовності
Нехай u 1, u 2, ..., un, ...? послідовність чисел. Послідовність u 1, u 2, ..., un, ... назівається ЗРОСТАЮЧИЙ , если u 1 u 2 un - 1 un ЗРОСТАЮЧИЙ послідовність u 1, u 2, ..., un, ... назівається ограниченной , если для Деяк числа з справджується нерівність un для довільного n.
например, послідовність
1 2 2, 3 2 ...,, ...
є ЗРОСТАЮЧИЙ и ограниченной. Сп...
