отенузи завжди більше катетів), то можна скласти нерівності:
Завдання з використанням чудових нерівностей
Завдання 1
Доведіть, що з усіх трикутників даній площі рівносторонній має найменший периметр.
Дано: ABC=S
Р- найменший
Довести:
Рішення:
За формулою Герона:
ABC =, де р- напівпериметр, значить
)=
За теоремою Коші для чотирьох чисел:
==
Твір чотирьох співмножників постійно=
Те їх сума мінімальна, якщо вони всі рівні між собою, тобто
звідси=b=c=тобто трикутник рівносторонній. Q.e.d.
Завдання 2
Доведіть, що максимальна повна поверхню прямокутного паралелепіпеда дорівнює, де L -сумма всіх ребер паралелепіпеда.
ABCDA1B1C1D1-прямокутний паралелепіпед 1=a=c=b
Довести: Sполн.пов=
Доказ:
) Sполн.пов=2SAA1D1D + 2SAA1B1B + 2SABCD=2ab + 2ac + 2bc=2 (ab + bc + ac)
)
складемо ці нерівності
+ bc + ac)
+ bc + ac, при a=b=c
складемо ці дві нерівності
/
=, звідси
Так як L-сума всіх ребер, то + b + c=значить
=q.e.d.
Завдання 3
Знайдіть найбільший периметр паралелограма, діагоналі якого 6 см і 8 см.
Рішення.
1.Пусть а і - довжини сусідніх сторін паралелограма, а і-- довжини діагоналей паралелограма. Тоді периметр паралелограма.
.Докажем, що з усіх паралелограмів з даними діагоналями найбільший периметр має ромб.
За теоремою про суму квадратів діагоналей паралелограма значить, сума квадратів сторін є величина постійна.
По нерівності між середнім арифметичним і середнім квадратичним
,
причому рівність досягається тоді і тільки тоді, коли. Значить, паралелограм з найбільшим периметром є ромб.
Маємо
З урахуванням
=5
Відповідь: 20 см.
Завдання 4
З граніту потрібно вирубати постамент у формі прямокутного паралелепіпеда, висота якого повинна бути дорівнює діагоналі підстави, а площа основи повинна бути дорівнює 4. За яких довжинах сторін підстави площа поверхні постаменту буде найменшою.
-прямоугольний паралелепіпед
=x, BC=y,
Знайти: x, y
Рішення:
) По теоремі Піфагора:
звідси
За умовою AC ==
) xy=4 (за умовою)
За формулами чудових нерівностей:
) Площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда буде найменшою, якщо його висота і сума сторін підстави буде найменшими,
Відповідь:
II. Аналітичний метод (дослідження функції)
Більшість стереометричних задач на відшукання найбільшого і найменшого значення вирішуються аналітично. Найчастіше використовується відповідна формула, вибирається незалежна змінна, яку зазвичай позначають буквою х, отримують функцію, що виражає величину, найбільше або найменше значення якої потрібно знайти, визначають межі виміру аргументу х. Отримана функція досліджується елементарними методами.
Завдання 1
Через вершину конуса провести площину так, щоб площа її перетину була максимальною
Знайти S сеч
Рішення:
Перерізом конуса є рівнобедрений трикутник, бічні сторони якого є утворюючими конуса, тобто рівні l.
SCDE=CD CE =, де, l- довжина твірної.
Площа трикутника буде найбільшою, якщо трикутник прямокутний, тобто в нашому випадку кут між утворюють повинен бути рівний 90, тогдаCDE==
Відповідь:
Завдання 2
Знайти найменший з усіх обсягів конусів, описаних близько кулі радіуса r.
радіус конусарадіус кулі
-кут між твірною і площиною основи
Знайти: Vнаім
Рішення: осьова лінія конуса, значить? AB
? OAD == R=r=AD =====
===
-Постійна величина
Значить необхідно знайти при якому значенні найменша
має найменше значення, значить
- повинна мати найбільше значення
Так як=1 величина постійна, то функція
приймає найбільше значення при=
Тобто 2=1
=min=
==
Відповідь:
Завдання 3
Площа підстави правильної трикутної призми дорівнює. Точки і - середини ребер НД і відповідно. Розглядаються трикутники, вершинами яких служать точки перетину площин, паралельних підставах призми, з відрізками,, і. Знайти найменше значення площі розглянутих трикутників
.Т.к правильна трикутна призма, значить рівносторонній,; За формулою площі правильного трикутника.
.Построім площину. <...
