/p>
а.Тогда;.
б.Пусть.
Проведемо і, де;
,, значить і
.Нехай, тоді й, причому за умовою задачі
.Т.к. (з побудови), (як бічне ребро правильної призми), то (за ознакою). Аналогічно.
(по теоремі Фалеса). Аналогічно.
-Середня лінія (за визначенням), звідси.
5. Розглянемо подібні трикутники.
З (по двох кутах):, звідси. Оскільки, То, а
а.Аналогічно з і отримуємо і відповідно.
б.Із (по двох кутах):, звідси. Оскільки, То, а
в.Із (по двох кутах):, звідси. Оскільки, То, а
г.Получілі.
.Найдем площу.
а.Поскольку (по властивості середньої лінії), тоді.
б.Поскольку медіана, то
. Тоді.
в. і мають загальний кут, це, то по теоремі про співвідношення площ трикутників, що мають загальний кут, маємо=
Аналогічно, і мають загальний кут, це, значить
=
г.Аналогічно і мають загальний кут, це, значить=
д. (як трикутники з одним і тим же підставою і рівними висотами) і мають загальний кут, це, значить
е.
=
Отже,=
=
=
=
.Поскольку - величина постійна, то найменше значення функції залежить прі. Досліджуємо функцію на мінімум. Квадратний тричлен приймає своє найменше значення на вказаному відрізку в точці. Отже, найменше можливе значення функції досягається також при і дорівнює. Тоді
Відповідь:
III. Мат аналіз. Рішення задач за допомогою похідної
Далеко не всі геометричні задачі на екстремуми можна вирішити за допомогою елементарних методів. Такі завдання вирішуються за допомогою застосування похідної.
Визначення:
Похідна - основне поняття диференціального обчислення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу при прагненні збільшення аргументу до нуля, якщо такий межа існує.
Термін «похідна» був введений французьким математиком Лагранжем (1736 - 1813).
Далі я розглянула задачу, в якій найбільше значення знаходитися трьома способами.
Завдання. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 з ребрами CD=24, AD=6 і DD 1=4 проведена площину через центр симетрії грані A 1 B 1 C 1 D 1, вершину А і точку Р, що лежить на ребрі DC. Яку найменшу площу може мати переріз паралелепіпеда цією площиною? На які частини ділить точка P ребро DC в цьому випадку?
Вирішимо задачу трьома способами і вирішимо, який з них швидше і простіше
У правильну чотирикутну піраміду, сторона підстави якої дорівнює а, а висота піраміди h, вписана правильна чотирикутна призма. Знайдіть площу бічної поверхні призми через a і h.
Дано: Нехай - правильна чотирикутна піраміда, - квадрат,, тоді діагоналі.-висота піраміди, де.
- вписана правильна чотирикутна призма, так що.
, значить. т.к.
то аналогічно.
Знайти: - найбільшу
Рішення: пр AS (ASO)
Так як призма правильна, то Sбок. пов.=4EE1F1F=4EE1EF
) SOAE1EA
Нехай == x, звідси так як OS=h1=x; 1===x=x
) ABCD-квадрат, так як SABCD-правильна піраміда, значить=AC===(по Т. Піфагора)=x == AO-AE=-=(1-x)
) так як EFGH E1F1G1H1 -правильним піраміда
=2, звідси
) Sбок. пов.=4EE1F1F=4EE1EF
Так як x і h-постійні величини, то будемо досліджувати функцію x (1-x)
1. Елементарний спосіб (дослідження квадратичної функції):
f (x)=x -
Це квадратична функція. Її графіком є ??парабола, гілки якої спрямовані вниз, значить найбільше значення даної функції буде в точці х0
бік. пов.=4EE1F1F== 4
Відповідь:
2. Із застосуванням похідної:
f (x)=x -
(x)== 1-2x
- 2x=0=
(2)=2-4 lt; 0бок. пов.=4EE1F1F== 4
Відповідь:
3. За допомогою середнього арифметичного і середнього геометричного
lt; тобто
lt ;;
lt;
.f (x)=-
.ОДЗ: x- gt; 0
.Нулі: -=0
/
- 4х + 1=0
=0
бік. пов.=4EE1F1F== 4
Відповідь:
Висновок
Вибираючи тему для дослідницької роботи, я поставила для себе мету знайти нові способи вирішення геометричних задач на знаходження найбільших і найменших значень функції і з'ясувати, який з них зручніше застосовувати при вирішенні завдань. У ході роботи над проектом я освоїла аналітичні методи завдань і вирішення завдань за допомогою чудових нерівностей. Геометричний підхід до екстремальних задач зазвичай призвод...
