ign="justify"> - Я прошу мінімум, - промовив Доронін.
А ти максимум проси, - посміхнувся Костюков.
Країна велика, скарбниця багата. Просив би вдвічі, дивишся - своє і отримаєш ...
(«У нас вже ранок» Олександр Борисович Чаковський)
Слова maximum і minimum латинські, вони позначають «найбільшу» і «найменше» значення. Термін «екстремум» - від латинського extremum, що означає «крайнє» - поєднує поняття максимум і мінімум. Вперше цей термін був згаданий французьким ученим Дюбуа Раймоном.
Завдання на максимум і мінімум у всі часи привертали увагу вчених. Із спроб вирішити ту чи іншу задачу виникали і розвивалися нові теорії, а іноді й цілі напрямки математики.
Слід поставити перед собою мету вишукати спосіб вирішення всіх завдань ... одним і притому простим способом
Даламбер
Єдиного методу вирішення всіх геометричних задач на максимуми і мінімуми немає. Виділимо одні з головних методів:
· З використанням чудових нерівностей.
· Методи дослідження функцій класичного аналізу
· Елементарні методи розв'язання задач (дослідження квадратичної функції)
I. Чудові нерівності. Середнє арифметичне і середнє геометричне в геометрії
Вперше поняття про середню арифметичним і середньому геометричним чисел a і b давньогрецький математик Папп Александрійський ще в III столітті н.е. Він вважав, що:
Середнє арифметичне (А) чисел a і b- це число, яке задовольняє умові:
Середнє геометричне (G) чисел a і b- це число, яке задовольняє умові:
Середня гармонійне (H) - це число, яке задовольняє умові
Існують і більш сучасні визначення цих величин
Визначення середніх величин:
У математиці середнє арифметичне набору чисел - це сума всіх чисел в цьому наборі поділена на їх кількість.
Середнє геометричне позитивних чисел x 1, x 2, ..., xn - число, рівне арифметичному кореню n-го ступеня з їхні твори
Середнім гармонійним дійсних позитивних чисел
називають позитивне число H=H (
Середнім квадратичним (квадратичним) дійсних чисел
називають дійсне невід'ємне число
=Q (
Дуже часто геометричні задачі на екстремуми можна вирішити, застосувавши нерівність Огюстен Луї Коші (французький математик) (нерівність про середню арифметичним і середнім геометричним 1821г):
Теорема: Середнє арифметичне додатних чисел не менше їх середнього геометричного.
узагальнена теорема або
)
)
)
)
Доказ:
;
;
Позначимо
1 =, ..., yn =, звідси
=
, ...;...=1
Застосуємо метод математичної індукції
) Перевіримо чи вірно нерівність при n=1
значить
(твердження вірне)
) Припустимо, що для n=k твердження вірне
) Доведемо, що твердження вірне і для n=k + 1
Доведемо, що якщо, ...;...=1, то
;
Нехай
Так як, то
Якщо всі числа одночасно не рівні 1, то існують два таких числа, для яких виконується:
Замінимо твір на суму
0
0
Так як
то
вірно q.e.d.
спосіб
)
Нехай a =, b=
звідси
+ a + y
)
аналогічно
) 2 ()
+ 2abcd
abcd, звідси
4 abcd
abcd
Теорема: Для будь-яких позитивних чисел a і b справедливі наступні співвідношення:
, де символом позначено найменше з чисел a і b, символом позначено найбільшу з цих чисел, причому рівність між будь-якими з цих «середніх» чисел має місце при a=b,
Доказ:
Візьмемо півколо з центром О. А- довільна точка на продовженні діаметра СB
Опустимо перпендикуляра з точок D і E
? BC? BC
Проїдемо прямі: AE- дотична, АD - січна
) Нехай AB=a, AC=b (a, тоді
) Так як OE-радіус, то
) Т.к AE- дотична, то OЕ? АЕ (по властивості дотичній), трикутник ОЕА -прямоугольний
=
AOD- прямокутний, тому:
З прямокутного трикутника ОЕА по властивості висоти, проведеної з прямого кута
Так як: gt; AO gt; AE gt; AF (так як в прямокутному трикутнику гіп...
