нення елемента аik не залежить від i, воно позначено Аk. Оскільки М? 0, з рівності (2) можна виразити елемент j-го шпальти aij через елементи перших r стовпців i-го рядка:
Це рівність справедливо при всіх i (i=1,2,?, r), причому коефіцієнти при аik від i не залежать. Звідси випливає, що i-й стовпець матриці буде лінійною комбінацією її перших r стовпців. Таким чином, у системі стовпців матриці А знайдена максимальна лінійно незалежна підсистема, що складається з r стовпців, тобто ранг матриці А дорівнює r.
Тепер для того, щоб знайти ранг системи векторів, досить скласти матрицю, стовпцями якої служать вектора системи, і знайти мінор максимального порядку, відмінний від нуля. Порядок цього мінору і буде рангом системи векторів.
Для визначення рангу матриці, як випливає з докази останньої теореми, досить знайти мінор М з лівого верхнього кута, відмінний від нуля, і потім методом облямівки перебрати мінори порядку на одиницю більшого до виявлення такого мінору, відмінного від нуля. Якщо таких мінорів, відмінних від нуля не виявилося, то ранг матриці дорівнює порядку мінору М. Якщо такий мінор, що не рівний нулю, знайшовся, то процедуру розрахунку оздоблюють миноров потрібно продовжити.
З доведеної теореми випливає, що ранг системи рядків матриці дорівнює рангу системи стовпців.
Інша важлива наслідок теореми полягає в тому, що тепер можна стверджувати: щоб визначник п-го порядку дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб між його стовпцями існувала лінійна залежність.
Достатність умови тут очевидна. Щоб довести необхідність, зауважимо, що найвищий порядок відмінних від нуля мінорів визначника менше порядку самого визначника. Звідси випливає, що стовпці цієї матриці лінійно залежні.
Діагональна форма матриці.
Дві теореми про ранзі матриці.
Ранг добутку двох матриць не вище рангу кожного із співмножників.
Хай є дві матриці А і В, які можна перемножувати і нехай АВ=С. В i-й рядку, і j-му стовпці матриці-твори З варто елемент, який визначається формулами:
при i=1
при i=2
при довільному i
Тут видно, що j-й стовпець матриці С являє собою лінійну комбінацію стовпців матриці А, узятих з коефіцієнтами. Звідси випливає, що система стовпців матриці З лінійно виражається через систему стовпців матриці А, і ранг системи стовпців С не перевищує рангу системи стовпців А.
Якщо тепер використовувати формулу (9) для елементів довільної рядка матриці C, то вийде:
при j=1
при j=2
і так далі.
Звідси видно, що система рядків матриці С є лінійною комбінацією системи рядків матриці В, отже, ранг системи рядків матриці С не може перевищувати рангу системи рядків матриці В, і теорема доведена.
. Ранг твори довільної матриці А праворуч або ліворуч на невироджених квадратну матрицю Q дорівнює рангу матриці А.
Доказ. Нехай
AQ=C (**)
З першої теореми про ранзі матриці випливає, що ранг матриці С не вище рангу матриці А. Якщо помножити обидві частини рівності (**) на Q - 1 праворуч, вийде рівність
AQ=CQ - 1
З тієї ж теореми про ранзі матриці випливає, що ранг А не вище рангу С. Звідси випливає, що ранги матриць А і С збігаються.
Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці.
Зокрема:
Кількість головних змінних системи одно рангу системи.
Спільна система буде визначена (її рішення єдино), якщо ранг системи дорівнює числу всіх її змінних.
Розглянемо систему рівнянь
матриця теорема визначник
(3)
Позначимо через А матриць у її коефіцієнтів і через А * її розширену матрицю.
Теорема. Для того, щоб система лінійних рівнянь була спільною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці її коефіцієнтів дорівнював рангу розширеної матриці.
Доказ. Нехай система (3) сумісна. Тоді існує набір чисел, який буде рішенням системи. Якщо підставити цей набір чисел в систему, то вийде вираз стовпця вільних членів у вигляді лінійної комбінації стовпців коефіцієнтів. Всякий інший стовпець розширеної матриці системи очевидно теж можна представити у вигляді лінійної комбінації матриці коефіцієнтів. Очевидно, що і будь стовпець матриці коефіцієнтів системи можна представити у вигляді лінійної комбінації стовпців розширеної матриці. Таким чином, системи стовпців матриці коефіцієнтів і стовпців розширеної матриці еквівалентні. Це означає, що їх ранги рівні.
Нехай тепер ранги матриці коефіцієнтів системи і розширеної матриці системи (3) рівні. Тоді деяка максимальна лінійно незалежна система стовпців матриці коефіцієнтів буде також максимальної лінійно незалежною системою стовпців розширеної матриці. Зві...
