рихких матеріалів і узагальнений в роботах у разі упругопластического деформування.
Можливість опису тріщини у вигляді фізичного розрізу дається в роботі Ф. Маклінток [30, 59], однак, вибір величини характерного розміру фізичного розрізу, а також постановок відповідних задач механіки суцільного середовища в даній роботі і наступних роботах автора не наведено.
У разі використання моделі тріщини у вигляді фізичного розрізу, рішення задачі про знаходження напруженого стану буде обумовлено формою кінчика розрізу. Форму кінчика тріщини в різних випадках вважають прямокутної, клиноподібної або еліптичної. При виборі різних форм кінчика тріщини виходять різні результати.
Таким чином, доцільним представляється актуальним розгляд моделі, в якій напружений стан в околиці кінчика тріщини не буде залежати від його форми, і при цьому в околі вершини тріщини не виникає сингулярності, на відміну від математичного розрізу.
У роботах В.В. Глаголєва і А.А. Маркіна була запропонована модель тріщини у вигляді фізичного розрізу і матеріального шару на його продовженні. Напружений стан шару описується середніми і граничними напруженнями, пов'язаними умовами рівноваги. Використання середніх по товщині шару напруг дозволяє відмовитися від розгляду форми закінчення фізичного розрізу. У статті [8] на основі запропонованої моделі була запропонована постановка і вирішена задача про розвиток тонкої пластичної області в околиці тріщини при навантаженні нормальним відривом.
Таким чином, є актуальним є розвиток моделей тріщини, в яких відсутня сингулярність напружень, що дозволяє в рамках природних критеріїв механіки суцільного середовища визначити момент переходу в стан пластичності. У даній роботі на основі моделі [13] розглянута варіаційна постановка задачі про визначення напружено-деформованого стану тіла кінцевих розмірів з тріщиною. Методом кінцевого елемента представлені рішення для приватних випадків навантаження. Знайдені області, згідно з критерієм Тріска - Сен-Венана, що переходять у стан пластичності.
1. Постановка завдання
На Рис. 1 представлено тіло з тріщиною у вигляді фізичного розрізу з товщиною і невизначеною межею його закінчення. Процес вантаження припускаємо квазистатическим і ізотермічним.
Скористаємося наступними позначеннями для напруг на кордонах шару:,,
Рис. 1.1. Тіло з тріщиною.
Приймаємо, що вектори напруг на сполучених кордонах шару рівні й протилежні векторах напруг сполучених кордонів тіла. Має місце жорстке зчеплення між кордонами і безперервність функції переміщення по межі шару.
У шарі 3 середні напруги, деформації і переміщення визначаємо через їх граничні значення наступним чином [13]:
де, - вектора переміщення верхньої та нижньої межі області 3.
З виразів приходимо до поданням середньої сдвиговой деформації уздовж шару:
Напруження по межі області 3 пов'язані з середніми напруженнями умовами рівноваги: ??
До зовнішньої навантаженні, поряд з силою відносимо і навантаження з боку шару 3 на тіло 1:
і тіло 2:
Висловимо граничні з шаром напруги для тіла 1 і 2:
Запишемо вирази
Перетворимо доданки, що містять похідну від середньої напруги.
При відсутності навантажень по торцях шару отримуємо:
Підставами (1.23), (1.24) в (1.1), тоді рішення задачі про рівновагу тіла з тріщиною зводиться до спільного вирішення двох варіаційних рівнянь [53] для тіла 1:
і тіла 2:
де, - верхня і нижня межі тіла 3;
, - контури додатки зовнішнього навантаження для тіла 1 і 2.
Для вирішення рівнянь (1.25) і (1.26) необхідно замкнути модель конкретними визначальними співвідношеннями, що зв'язують напруги з деформаціями. У рамках даної роботи зв'язок між напругою і деформаціями представимо у вигляді закону Гука:
У результаті рішення визначається поле переміщень в тілах 1 і 2, в тому числі і по межі із шаром взаємодії, що дозволяє з урахуванням знайти середні деформації шару.
Для вирішення варіаційних рівнянь спільно з визначальними співвідношеннями пропонується використовувати метод кінцевого елемента з лінійною апроксимацією поля переміщень. Передбачається, що розмір грані кінцевого елемента сумірні з введенням параметром.
У пропонованій моделі тріщини основним параметром для конкретного матеріалу є масштабний параметр. Рішення задачі про знаходження ПДВ в тілі з тріщ...
