align="justify"> Проекції сил тяжкості і тиску, що діють на паралелепіпед, складають:
на вісь х
,
на вісь у
,
на вісь z
.
Відповідно до основного принципу динаміки, сума проекцій сил, що діють на рухомий елементарний об'єм рідини, дорівнює добутку маси рідини на її прискорення.
Маса рідини в об'ємі паралелепіпеда дорівнює
. (1.4)
Рис. 1.3. Схема до висновку диференціальних рівнянь рівноваги Ейлера
Якщо рідина рухається зі швидкістю w, то її прискорення дорівнює, а проекції прискорення на осі координат:, і, де w x , w y і w z - складові швидкості уздовж осей х, у і z . Для сталого потоку в розглянутому випадку, і. Похідні ж, і відповідають зміні в часі значень w x , w < i align="justify"> y і w z при переміщенні частинки рідини з однієї точки простору в іншу. Тоді в відповідності з основним принципом динаміки
,
, (1.5)
,
або після скорочення
,
, (1.6)
де субстанціональні похідні відповідних складових швидкості
,
, (1.7)
.
Система рівнянь (1.6) з урахуванням виразів (1.7) являє собою диференціальні рівняння руху ідеальної рідини Ейлера для сталого потоку.
При несталому русі швидкість рідини змінюється не тільки при переміщенні частинки потоку з однієї точки простору в іншу, але і з плином часу в кожній точці. Тому для несталих умов вони приймають вид
,
, (1.8)
.
Система рівнянь (1.6) з урахуванням виразів (1.8) являє собою диференціальні рівняння руху ідеальної рідини Ейлера для несталого потоку.
Система рівнянь (1.6) є системою диференціальних рівнянь руху ідеальної рідини для сталого потоку. Ці рівняння були отримані Л. Ейлером в 1755
З диференціальних рівнянь Ейлера легко Полуда рівняння Бернуллі, широко використовується в гідродинаміці.
Рівняння Бернуллі
Помножимо ліві і праві частини кожного з членів рівнянь (1.6) відповідно на dх, dу, dz і складемо почленно з урахуванням того, що
Тоді
(1.9)
та
Тоді ліву частину рівняння (1.9) можна представити у вигляді
У правій частині рівняння приймемо, що Xdx + Ydy + Zdz=dU. Величина dU є деякою силовий функцією і В остаточному вигляді отримаємо основне рівняння гідродинаміки
(1.10)
При дії тільки сили тяжіння на потік рідини силова функція dU=-gdz і з (1.10) отримаємо
Розділивши кожен член цього рівняння на прискорення вільного падіння g, матимемо
Але сума диференціалів є диференціал суми і
Тоді
(1.11)
Рівняння (1.11) є рівнянням Бернуллі для ідеальної рідини.
Для двох поперечних перерізів трубопроводу 1-1 і 2-2 рівняння (1.11) можна записати так (рис 1.4):
(1.12)
Рис 1.4 - Схема трубопроводу
Величина є повним гідродинамічним напором.
Тут z, як раніше вже зазначалося, - нивелирная, або геомет-річеская, висота, р/(? g) - статичний п'єзометричний напір, швидкісний, або динамічний, напір, який характеризує питому кінетичну енергію в даній точці рідини. Одиниці виміру динамічного напору, як і решти членів рівняння Бернуллі, 1 м або 1 Н? М/Н.
Таким образам, з рівнянь (1.11) і (1.12) випливає, що при усталеному русі ідеальної рідини гідродинамічний напір залишається постійним для будь-якого перетину потоку. Маючи на увазі енергетичний сенс кожного члена рівняння Бернуллі, можна стверджувати, що при усталеному русі ідеальної рідини сума потенційної і кінетичної енергії рідини є величина постійна для будь-якого поперечного перер...
