иці не коммутативно, слід розрізняти множення матриці А на деяку іншу матрицю зліва і справа, причому в загальному випадку ці матриці можуть мати різну розмірність.
. 3 Визначник матриці і його властивості
Основний числовою характеристикою квадратної матриці є її визначник. Розглянемо квадратну матрицю:
A=
Определителем або детерминантом другого порядку називається число, обчислене за наступним правилом:
=
Розглянемо тепер квадратну матрицю третього порядку:
Определителем третього порядку називається число, обчислене за наступним правилом:
Основні властивості визначників матриці
· Величина визначника не змінюється при транспонировании матриці.
· При перестановки місцями рядків або стовпців матриці, визначник змінює лише знак, зберігаючи абсолютну величину.
· Визначник, у якому пропорційні рядки або стовпці дорівнює нулю.
· Загальний множник елементів деякої рядка або стовпця можна виносити за знак визначника.
· Якщо всі елементи деякою рядки або стовпця дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.
· Якщо до елементів окремого рядка або стовпця визначника додати елементи іншого рядка або стовпця, помножені на довільний невироджений множник Z, то величина визначника не зміниться.
Мінором матриці називається визначник, отриманий викреслюванням з квадратної матриці однакового числа стовпців і рядків.
Якщо все мінори порядки вище r, які можна скласти з матриці, дорівнюють нулю, а серед мінорів порядку r хоча б один відмінний від нуля, то число r називається рангом цієї матриці.
Обчислення визначника матриці шляхом розкладання за елементами рядка або стовпця
Визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів будь -або рядки (будь -або стовпця) матриці на відповідні алгебраїчні доповнення елементів цього рядка (цього шпальти). При обчисленні визначника матриці таким способом слід керуватися таким правилом: вибирати отрокові або стовпець з найбільшим числом нульових елементів. Цей прийом дозволяє значно скоротити обсяг обчислень.
. 4 Обчислення зворотної матриці
При вирішенні матричних рівнянь широко використовують зворотний матрицю. Вона певною мірою замінює операцію ділення, яка в явному вигляді в алгебрі матриць відсутня.
Квадратні матриці однакового порядку, твір яких дає одиничну матрицю Е, називаються взаімообратних або зворотними. Позначається зворотна матриця А - 1 і для неї справедливо
А * А - 1=Е.
Обчислити зворотну матрицю можна тільки для такої матриці А, для якої
Класичний алгоритм обчислення зворотної матриці
. Записують матрицю А T, транспоновану до матриці А.
. Замінюють кожен елемент матриці А Т визначником, отриманими в результаті викреслювання рядка і стовпця, на перетині яких розташований даний елемент.
. Цей визначник супроводжують знаком плюс, якщо сума індексів елемента парна, і знаком мінус - в іншому випадку.
. Ділять отриману матрицю на визначник матриці А.
Рішення завдань лінійної алгебри в системі MATLAB
При створенні матриць в системі MATLAB символи пробіл і кома використовуються для відділення елементів усередині рядка в матриці, символ крапка з комою відокремлює рядки в матриці.
При створенні матриць необхідно стежити за рівністю довжин рядків, що її утворюють.
У MATLAB операція транспонування матриці виконується за допомогою або оператора «. '», або функції transpose ()
Елементарними матричними перетвореннями є:
· перестановка місцями двох рядків матриці,
· множення всіх елементів рядка матриці на число, відмінне від нуля,
· додаток до всіх елементів рядка матриці відповідних елементів іншого рядка, помножених на одне і теж число.
Система MATLAB дозволяє виконувати поелементне множення матриць.
При виконанні поелементного множення розмірності матриць повинні бути однаковими.
При поелементному множенні матриць множаться значення відповідних елементів цих матриць і записуються в результуючу матрицю.
Для знаходження визначника (дете...
