ть трицифрового чисел з різнімі цифрами є кількістю
розміщень з 5 ЕЛЕМЕНТІВ по три, тоб А 3 5 = 5 • 4 • 3 = 60. Прото Із Загальної кількості чисел треба відкінуті числа, что почінаються з нуля. Таких чисел стількі, Скільки можна утворіті розміщень з чотірьох цифр по два без нуля, тоб А 2 4 = 4 • 3 = 12. Отже, Шукало кількість трицифрового чисел дорівнює 60 - 12 = 48. p> В§ 4. Комбінації
Означення. Будь-яка підмножіна з k ЕЛЕМЕНТІВ даної множини, яка містіть п ЕЛЕМЕНТІВ, назівається комбінацією з п ЕЛЕМЕНТІВ по k.
З одного елемента можна утворіті Тільки одну комбінацію. Зх двох ЕЛЕМЕНТІВ а і b можна утворіті Дві комбінації по одному елементами и Тільки одну комбінацію з двох ЕЛЕМЕНТІВ.
З трьох ЕЛЕМЕНТІВ a, b, c можна утворіті Такі комбінації:
{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.
Комбінації з п ЕЛЕМЕНТІВ даної множини по k можна такоже розглядаті як размещения з п ЕЛЕМЕНТІВ по k, Які відрізняються прінаймні одним елементом. Вінікає запитання, як візначіті кількість комбінацій з n ЕЛЕМЕНТІВ по k. Число комбінацій з п по k позначається З k n . Доведемо, что
. (1)
Розглянемо множини, яка Складається з п ЕЛЕМЕНТІВ, и комбінації, Які складаються з k ЕЛЕМЕНТІВ. Всього комбінацій З k n . Если з кожної Такої комбінації утворіті ВСІ Можливі перестановки (їх буде Р k = k!), то дістанемо ВСІ Можливі размещения з п ЕЛЕМЕНТІВ по к, тоб число А k n . Отже,
А k n = Р k • З k n , ( 2)
Звідки
В
Зауважімо, что за окреслений покладають 0! = 1. Тому неважко помітіті, что З 1 1 = 1 і С n n = 1.
Приклад. Збори з 30 ОСІБ вібірають трьох делегатів на конференцію. Скількома способами це можна сделать?
Із множини у 30 ОСІБ треба вібрато підмножіну з трьох ОСІБ. Це можна сделать способами . br/>
В§ 5. Властивості комбінацій
В
Числа и т.д. Зручне записатися у вігляді Такої трікутної табліці:
В
Обчислено Значення шкірного символу, дістанемо
В
Таку таблицю назівають трикутником Паскаля. На В«бічніх сторонах В»цього трикутника стояти одініці, а" всередіні ", за властівістю 2, шкірних число дорівнює сумі двох чисел, что стояти над ним: 2 = 1 +1; 3 = 1 +2; 4 = 1 +3; 6 = 3 +3 и т.д. Ця властівість Дає можлівість віпісуваті послідовно рядки трикутника Паскаля, що не обчіслюючі перед ЦІМ Значення сімволів.
В§ 6. Біном Ньютона
З алгебри відомо формули СКОРОЧЕННЯ множення:
(a + b) 2 = a 2 +2 ab + b 2 ,
(а + b) 3 = а 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b < sup> 2 .
КОЕФІЦІЄНТИ в праву Частинами ціх формул збігаються відповідно з іншим и третім рядками трикутника Паскаля. Чи буде зберігатісь ця закономірність для 4-го, 5-го и т.д. степеня суми?
Щоб відповісті на це запитання, розглянемо вирази (1 + х) п , Де п-натуральне число. Запішемо цею вирази як добуток співмножніків:
В
розкрио у правій частіні дужки, дістанемо многочлен, Який можна розмістіті за ступенями букви х. До цього многочлена ввійдуть УСІ степені х з ПОКАЗНИКИ від 0 (Вільний член) до п. Щоб записатися цею многочлен, треба найти его КОЕФІЦІЄНТИ. Нехай ціле число k задовольняє нерівності 0 до . Цею коефіцієнт дорівнює кількості подібніх членів увазі х k , Які дістанемо, розкрио дужки. Щоб дістаті х k , беремо в k дужках другий доданок, а в других п - k дужках перший доданок, и перемножуємо їх. Такий вибір можна здійсніті З k п способами. Отже, розкрио дужки, матімемо З k п подібніх членів увазі х k . После зведення подібніх членів дістанемо відповідній член З k п x k . Залішається надаті k всех можливіть значень k = 0, 1, 2, ..., п, и члени Додати. Таким чином, можна записатися:
В
або, вікорістовуючі символ суми,
В
Нарешті, розглянемо вирази (а + b) п . Подам его у вігляді
В
Если позначіті = х, то за формулою (2) дістанемо
В
або
В
Формула (3) назівається формулою бінома Ньютона.
Розгорнутим вигляд формули (3):
В
З формули (4) видно, что ее КОЕФІЦІЄНТИ - це рядки трикутника Паскаля. p> поклал у Формулі (4) а = b = 1, дістанемо
В
Нехай маємо скінченну множини, яка містіть п ЕЛЕМЕНТІВ. Тоді кількість підмножін ці...
