ється його рангом. Тепер нам досить побудувати діаграму, в якій по осі Y відкладається населення кожного міста, а по осі X - його ранг (рис. 4).
Малюнок 4. Графік рангового розподілу населення
Побудуємо цей розподіл в подвійних логарифмічних координатах (рис. 5).
Малюнок 5. Графік рангового розподілу в подвійних логарифмічних осях
Видно, що для російських міст з населенням більше 3000 чоловік статечної закон добре виконується, особливо в проміжку між 3000 і 1000000 чоловік (проміжок відзначений помаранчевими межами). Міста-мільйонники (не рахуючи Москви і Петербурга) вибиваються із загальної картини, вони істотно «не добирає» населення. Різке спотворення загальної картини є і для населених пунктів з населенням менше 3000 чоловік.
Величезна перевага рангового статечного розподілу в тому, що значущими у нас залишаються всі наявні дані, вони все представлені точками на розподілі. Завдяки цьому існування статечного закону, а також показник ступеня можна встановити з набагато більшою точністю, ніж при частотному розподілі. У даному конкретному прикладі показник ступеня K (rank) виявляється рівним - 1,09 (з досить високою точністю).
Ми говорили, що якщо в статистиці явища мається статечної закон, то він буде проявлятися на будь-якому з трьох типів розподілів, з якими ми знайомимося. Але показники ступеня будуть у всіх трьох випадках різні. І ось, на нашому прикладі ми бачимо, що при використанні частотного розподілу ми отримали показник ступеня близько - 1,8, а при ранговом - показник - 1.
Порівнюючи ці два значення, можна подумати, що між ними різниця становить близько 1. Відомо, що за винятком рідкісних випадків між показником частотного статечного розподілу K (freq) і показником рангового K (rank) діє наступне співвідношення:
(6)
У нашому випадку K (rank)=- 1,09, значить, K (freq) повинен бути рівний приблизно - 1,92. Це відповідає нашому приблизним практичного результату (- 1,7 - - 1,9) і різниця між K (freq) і K (rank), дійсно, становить близько одиниці.
Кумулятивне статечне розподіл. Близьким родичем рангового розподілу є кумулятивний розподіл або, як ще його називають, розподіл Парето.
На кумулятивному розподілі по осі X відзначається величина параметра, у нас це населення міста, а по осі Y - кількість міст, населення яких більше або дорівнює поточним X. Скажімо, у нашому прикладі для точки X=909341 (населення Красноярська) виходить Y=14, тому що в Росії є тільки 14 міст, населення яких перевищує або дорівнює 909 341 чоловік. Наступною точкою буде X=1001653 (Перм), і значення Y для цієї точки одно 13. Останньою крапкою розподілу буде Москва (X=10126424, Y=1).
Побудуємо кумулятивний розподіл для нашого прикладу (рис. 6) [4].
Малюнок 6. Графік кумулятивного розподілу населення
І воно ж у подвійних логарифмічних координатах (рис. 7).
Малюнок 7. Графік кумулятивного розподілу в подвійних логарифмічних осях
Форма графіка дуже схожа на форму рангового розподілу - тільки перевернутого, немов осі X і Y помінялися місцями. І це не випадково. Дійсно, кумулятивний розподіл є нічим іншим, як зверненим рангових розподілом. І просто зрозуміти, чому: остання крапка на кумулятивному розподілі відповідає Москві (X=10126424, Y=1). Але Москва ж виявляється і першою точкою рангового розподілу (X=1, Y=10126424). Далі, Санкт-Петербург - це передостання точка кумулятивного розподілу (X=4661219, Y=2), але друга точка рангового розподілу (X=2, Y=4661219). Виходить, що рух від кінця кумулятивного розподілу до його початку в точності відповідає руху по ранговому розподілу, але навпаки, від початку до кінця [4].
Важко сказати, чому Парето у своїх роботах зволів кумулятивний розподіл більш простому і зрозумілому ранговому. Ймовірно, тут зіграло свою роль, що в ньому по осі X відкладаються значення статистичного параметра (у нас це населення) - також як в «науково правильному» частотному розподілі. Як би там не було, кумулятивні розподілу отримали широке розповсюдження і нам важливо їх не плутати ні з частотними ні з ранговими.
Кумулятивне розподіл є зворотним ранговому і це дозволяє нам легко встановити співвідношення між їх показниками ступеня: показник статечного кумулятивного розподілу точно обратен показником статечного рангового розподілу.
Конкретно, у нашому прикладі виходить, що показник кумулятивного розподілу (розподілу Парето) K (cumm) дорівнює 1/- 1,09=- 0,92
Отже, ми тепер можемо записати парні співвідношення між показника...
