ереходить з одного режиму роботи на інший, то слід змінити і її линеаризировать модель. Застосовуючи линеаризацию, можна з'ясувати багато якісні і особливо кількісні властивості нелінійної системи.
Фазова площина - координатна площина, в якій по осях координат відкладаються якісь дві змінні (фазові координати), однозначно визначають стан системи другого порядку. Фазова площина є окремим випадком фазового простору, який може мати велику розмірність.
У фізиці коливань на осі абсцис фазової площини відкладається значення параметра x , а на осі ординат - перша похідна x за часом (що, очевидно, пов'язує вісь ординат з імпульсом.
Кожна точка фазової площини відображає один стан системи і називається фазовою, що зображає або представляє точкою. Зміна стану системи відображається на фазовій площині рухом цієї точки. Слід від руху зображає точки називається фазовою траєкторією. Через кожну точку фазової площини проходить лише одна фазова траєкторія, за винятком особливих точок. Стрілками на фазових траєкторіях показується переміщення зображає точки з часом. Повна сукупність різних фазових траєкторій - це фазовий портрет. Він дає уявлення про сукупності всіх можливих поєднань системи і типах можливих рухів в ній.
Фазовий портрет зручний для розгляду рухів макроскопічних і квантових частинок, проте, за відгуками співробітників СО РАН, в механіці переважно використовувати схеми в термінах залежності потенційної енергії від координати.
Зі зміною часу t точка М рухається по траєкторії, званої фазової траєкторією. Якщо міняти початкові умови отримаємо сімейство фазових траєкторій, званих фазовим портретом. Фазовий портрет визначає характер перехідного процесу в нелінійній системі. Фазовий портрет має особливі точки, до яких прагнуть або від яких йдуть фазові траєкторії системи (їх може бути декілька).
Фазовий портрет може містити замкнуті фазові траєкторії, які називаються граничними циклами . Граничні цикли характеризують автоколивання в системі. Фазові траєкторії ніде не перетинаються, крім особливих точок, що характеризують рівноважні стану системи. Граничні цикли і стану рівноваги можуть бути стійкими або не стійкі.
Фазовий портрет повністю характеризує нелінійну систему. Характерною особливістю нелінійних систем є наявність різних типів рухів, декількох станів рівноваги, наявність граничних циклів.
Апроксимація, або наближення - науковий метод, що полягає в заміні одних об'єктів іншими, в тому чи іншому сенсі близькими до вихідних, але більш простими.
Апроксимація дозволяє досліджувати числові характеристики і якісні характеристики об'єкта, зводячи задачу до вивчення більш простих або більш зручних об'єктів (наприклад, таких, характеристики яких легко обчислюються, або властивості яких вже відомі).
При математичному моделюванні часто потрібно представити якусь залежність, задану окремими точками, у вигляді гладкої функції. Вихідні точки можуть бути задані з помилками. У цьому випадку доцільно застосувати апроксимацію вихідних даних методом найменших квадратів. Вибір апроксимуючої функції багато в чому визначається фізикою описуваного процесу. Якщо відомий вид апроксимуючої функції, то завдання зводиться до відшукання коефіцієнтів, що входять у функцію.
2. Дослідження заданої однопараметричній системи диференціальних рівнянь
Нам дана система:
x 1 =? * x 1 + x 2 +? * x 1 2 - x 1 2 - x 1 * x 2 2
x 2=- x 1 + x 2 2
Перша варіація бифуркационного значення
gt;
gt;
У ході вирішення отримали 4 особливі точки, розглянемо кожну з них і визначимо їх тип.
Перша особлива точка
gt;
gt;
gt;
gt;
gt;
Отримали, що в точці (0,0) особлива точка - стійкий фокус.
Знаходимо власні числа і вектори:
Друга особлива точка
gt;
gt;
Отримали, що в точці (+0,6366447672; +0,7979002238) особлива точка - сідло. Знаходимо власні числа і вектори:
Третя особлива точка:
gt;
gt;...
