на від будь первообразной, що стоїть в лівій частині, дорівнює похідною від будь-якої функції, що стоїть в правій частині рівності. Отже по теоремі з пункту №1 будь-яка функція, що стоїть в лівій частині рівності (1), відрізняється від будь-якої функції, що стоїть в правій частині рівності (1), на постійний доданок. У цьому сенсі і потрібно розуміти рівність (1).
Теорема 2. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, т. е. якщо a=const, то
(2)
Для доказу рівності (2) знайдемо похідні від лівої і правої його частин:
Похідні від правої і лівої частин рівні, отже, як і в рівності (1), різниця двох будь-яких функцій, що стоять ліворуч і праворуч, є постійна. У цьому сенсі і слід розуміти рівність (2).
При обчисленні невизначених інтегралів буває корисно мати на увазі наступні правила.
). Якщо
то
(3)
Дійсно, диференціюючи ліву і праву частини рівності (3) отримаємо
Похідні від правої і лівої частин рівні, що й потрібно було довести.
). Якщо
то
(4)
. Якщо
то
. (5)
Рівності (4) і (5) доводяться дифференцированием правої і лівої частин рівностей.
Приклад 1.
=
Приклад 2.
==
Приклад 3.
.
Приклад 4.
Приклад 5.
РОЗДІЛ 2. ОСНОВНІ МЕТОДИ ІНТЕГРУВАННЯ
2.1 Інтегрування методом заміни зміною або способом підстановки
Нехай потрібно знайти інтеграл, причому безпосередньо підібрати первообразную для f (x) ми не зможемо, але нам відомо, що вона існує.
Зробимо заміну змінної в подинтегрального вираженні, поклавши
=? (t), (1)
де? (t) -безупинно функція з безперервною похідної, що має зворотну функцію. Тоді dx=?? (t) dt; доведемо, що в цьому випадку має місце рівність:
(2)
Тут мається на увазі, що після інтегрування в правій частині рівності замість t буде підставлено його вираз через х на підставі рівності (1).
Для того щоб встановити, що висловлювання, які стоять праворуч і ліворуч, однакові у зазначеному вище сенсі, потрібно довести, що їх похідні по х рівні між собою. Знаходимо похідну від лівої частини: Праву частину рівності (2) будемо диференціювати за х як складну функцію, де t-проміжний аргумент. Залежність t від х виражається рівністю (1), при цьому і за правилом диференціювання оберненої функції.
Таким чином, маємо
Отже, похідні від х від правої і лівої частин рівності (2) рівні, що й потрібно було довести.
Функцію слід вибирати так, щоб можна було вирахувати невизначений інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (2).
Зауваження. При інтегруванні іноді доцільніше підбирати заміну змінної не у вигляді, а у вигляді Проілюструємо це на прикладі. Нехай потрібно обчислити інтеграл, що має вигляд
.
Тут зручно покласти
,
тоді
.
Наведемо кілька прикладів на інтегрування за допомогою заміни змінних.
Приклад 1.
Зробимо підстановку t=sin x; тоді dt=cosx dx і, отже,
Приклад 2.
Вважаємо t=1 + x2; тоді dt=2xdx і
Приклад 3.
Вважаємо; тоді dx=a dt,
Приклад 4.
. Вважаємо; тоді dx=a dt,
(передбачається, що a gt; 0).
У прикладах 3 і 4 виділені формули, наведені в таблиці інтегралів під номерами 11? і 13? (див. вище, пункт №2).
Приклад 5.
Вважаємо t=lnx; тоді
.
Приклад 6.? Вважаємо; тоді dt=2xdx,
Метод заміни змінних є одним з основних методів обчислення невизначених інтегралів. Навіть у тих випадках, коли ми інтегруємо яким-небудь іншим методом, нам часто доводиться в проміжних обчисленнях вдаватися до заміни змінних. Успіх інтегрування залежить значною мірою від того, чи зуміємо ми підібрати таку вдалу заміну змінних, яка спростила б даний інтеграл. По суті кажучи вивчення методів інтегрування зводиться до з'ясування того, яку треба зробити заміну змінної при тому чи іншому вигляді подинтегрального вираження. Цьому присвячені велика частина цього пункту.
2.2 Інтегрування по частинах
Нехай u і v два диференціюються функції від х. Тоді, як відомо, диференціал твори uv обчислюється за наступною формулою:
(uv)=udv + vdu.
Звідси, інтегруючи, одержуємо
або
. (1)
Остання формула називається формула інтегрування частинам...
