и. Ця формула найчастіше застосовується до інтегрування виразів які можна так представити у вигляді добутку двох співмножників u і dv, щоб відшукати функцію v по її диференціалу dv і обчислення інтеграла становили в сукупності завдання більш просту, ніж безпосереднє обчислення інтеграла. Уміння розбивати розумним чином дане підінтегральний вираз на множники u і dv виробляється в процесі рішення задачі, і ми покажемо на ряді прикладів, як це робиться.
Приклад 1.
? Покладемо u=x, dv=sinxdx; тоді=dx, v=-cosx.Следовательно,
.
Зауваження. При визначенні функції v по диференціалу dv ми можемо брати будь-яку довільну постійну, так як в кінцевий результат вона не входить (що легко перевірити, підставивши в рівність (1) замість v вираз v + C). Тому зручно вважати цю постійну рівною нулю.
Правило інтегрування частинами застосовується в багатьох випадках. Так, наприклад, інтеграли виду
деякі інтеграли, що містять обернені тригонометричні функції, обчислюються за допомогою інтегрування частинами.
Приклад 2. Потрібно обчислити. Покладемо u=arctg x, dv=dx; тоді. Отже,
Приклад 3. Потрібно обчислити. Покладемо тоді
.
Останній інтеграл знову інтегруємо по частинах, вважаючи
Тоді
. Остаточно матимемо
.
2.3 Раціональні дроби. Найпростіші раціональні дроби і їх інтегрування
Як ми побачимо нижче, далеко не всяка елементарна функція має інтеграл, що виражається в елементарних функціях. Тому дуже важливо виділити такі класи функцій, інтеграли яких виражаються через елементарні функції. Найпростішим з цих класів є клас раціональних функцій.
Всяку раціональну функцію можна представити у вигляді раціонального дробу, т. е. у вигляді відношення двох многочленів:
Чи не обмежуючи спільності міркування, будемо припускати, що ці многочлени не мають спільних коренів.
Якщо ступінь чисельника нижче ступеня знаменника, то дріб називається правильною, в іншому випадку дріб називається неправильною.
Якщо дріб неправильна, то, розділивши чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів), можна уявити дану дріб у вигляді суми многочлена і деякої правильної дробу:
;
тут М (х) -многочлен, а - правильна дріб.
Приклад. Нехай дана неправильна раціональний дріб
Розділивши чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів), отримаємо:
.
Так як інтегрування многочленів не представляє утруднень, то основна трудність при інтегруванні раціональних дробів полягає в інтегруванні правильних раціональних дробів.
Визначення. Правильні раціональні дроби виду
(1).
(2). (k-ціле позитивне число
(3) (коріння знаменника комплексні, тобто).
(4) (k-ціле позитивне число; коріння знаменника комплексні), називаються найпростішими дробами (1), (2), (3) і (4) типів.
Інтегрування найпростіших дробів типу (1), (2) і (3) не становить великих труднощів, тому ми наведемо їх інтегрування без будь-яких додаткових пояснень:
(1)
(2)
(3)
=
Більш складних обчислень вимагає інтегрування найпростіших дробів (4) типу. Нехай нам дано інтеграл такого типу:
(4)
Зробимо перетворення:
Перший інтеграл береться підстановкою:
Другий Інтеграл позначимо його через Ik-запишемо у вигляді
,
вважаючи
(за припущенням коріння знаменника комплексні, а отже,). Далі поступаємо таким чином:
.
Перетворимо інтеграл:
Інтегруючи вроздріб, матимемо
.
Підставляючи цей вираз в рівність (1), одержимо
=
=.
У правій частині міститься інтеграл того ж типу, що, але показник ступеня знаменника подинтегральной функції на одиницю нижче; таким чином, ми висловили через Продовжуючи йти тим же шляхом, дійдемо до відомого інтеграла:
Підставляючи потім усюди замість t і m їх значення, отримаємо вираз інтеграла (4) через х і задані числа А, B, p, q.
2.4 Інтегрування раціональних дробів
Нехай потрібно обчислити інтеграл від раціональної дробу Якщо дана дріб неправильна, то ми представляємо її у вигляді суми многочлена M (x) і правильної раціональної дробу. Останню ж представляємо за формулою у вигляді суми найпростіших дробів. Таким чином, інтегрування якої раціональної дробу зводиться до інтегрування многочлена і декількох найпростіших дробів.
Вид найпростіших дробів визначається коренями знаменника f (x). Тут можливі наступні випадки.
.Случай. ...
