; z lt; x.Так как ?? (z)=0, то? (х) -? (а)=0, або? (х) =? (а). (3)
Таким чином, функція? (х) в будь-якій точці х відрізка [a, b] зберігає значення? (а), а це означає, що функція? (х) є постійною на відрізку [a, b]. Позначаючи постійну? (А) через С, з рівностей (2) і (3) отримуємо
(х) - F2 (х)=С.
З доведеної теореми випливає, що якщо для даної функції f (x) знайдена якасьнебудь один первообразная F (x), то будь-яка інша первісна для f (x) має вигляд F (x) + С, де С=const
Визначення 2. Якщо функція F (x) є первісною для f (x), то вираз F (x) + С називається невизначеним інтегралом від функції f (x) і позначається? f (x) dx.Такім чином за визначенням ,? f (x) dx=F (x) + С, якщо? (x)=f (x). При цьому функцію f (x) називають подинтегральной функцією, (x) dx- подинтегрального виразом, знак? - Знаком інтеграла.
Таким чином, невизначений інтеграл являє собою сімейство функцій y=F (x) + С.
З геометричної точки зору невизначений інтеграл представляє сукупність (сімейство) кривих, кожна з яких виходить шляхом зсуву однієї з кривих паралельно самій собі вгору або вниз, т. е. уздовж осі Оу.
Природно виникає питання: для всякої Чи функції f (x) існують первісні (а значить, і невизначений інтеграл)? Виявляється, що не для всякої. Зауважимо, однак, без доказу, що якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b], то для цієї функції існує первообразная (а значить, і невизначений інтеграл).
Знаходження первісною для даної функції f (x) називається інтегруванням функції f (x).
Зауважимо наступне: якщо похідна від елементарної функції завжди є елементарною функцією, то первообразная від елементарної функції може виявитися і не представимо за допомогою кінцевого числа елементарних функцій. З визначення 2 слід:
.Проізводная від невизначеного інтеграла дорівнює подинтегральной функції, т.е.еслі F? (x)=f (x), то і
(? f (x) dx)?=(F (x) + C)?=f (x). (4)
Остання рівність потрібно розуміти в тому сенсі, що похідна від будь первообразной дорівнює подинтегральной функції.
. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює подинтегрального висловом:
(? f (x) dx)=f (x) dx. (5)
Це виходить на підставі формули (4).
. Невизначеного інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції плюс довільна постійна:
? dF (x)=F (x) + C.
Справедливість останнього рівності легко перевірити диференціюванням (диференціали від обох частин рівності рівні dF (x)).
Завдання. Обчислити невизначені інтеграли, результат перевірити диференціюванням
)
Вирішуємо методом заміни змінної. Покладемо,
тоді,
Таким чином, отримуємо
Повернемося до змінної х.
Перевіримо дифференцированием:
)
Скористаємося таблицею невизначених інтегралів [Вигодський, М.Я. Довідник з вищої математики.- М .: Наука, 1972. - 872 с.: Ил.- С. 850
інтеграл дріб підстановка змінна
З
Перевіримо дифференцированием:
)
Неправильну раціональну дріб приводимо до правильної поділом чисельника на знаменник, отримуємо
Відповідно до властивості інтервалу алгебраїчної суми, маємо
Підстановка приводить інтеграл до виду
Повертаючись до аргументу х, отримуємо
Таким чином,
, де С=С1 + С2
Перевіримо дифференцированием:
1.2 Таблиця інтегралів
Перш ніж приступити до викладу методів інтегрування, наведемо таблицю інтегралів від найпростіших функцій.
. =. (Тут і в наступних формулах під З розуміється довільна постійна.).
. =.
. =
. =
. =.
. =.
. =.
. =.
. =.
. =
. =.
?. =.
. =.
. =.
? =.
. =.
Справедливість формул 7,8,11?, 12,13? і 14 легко встановлюється за допомогою диференціювання.
У разі формули 7 маємо? =,
отже,.
У разі формули 8
? =,
отже, =.
У разі формули 12
? =,
отже, =.
У разі формули 14
отже, =.
1.3 Деякі властивості невизначеного інтеграла
Теорема 1.Неопределенний інтеграл від алгебраїчної суми двох або декількох функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх інтегралів:
(1)
З докази знайдемо похідні від лівої і правої частин цієї рівності. На підставі рівності (4) пункту №1 знаходимо
Таким чином, похідні від лівої і правої частин рівності (1) рівні між собою, т. е. похід...
