перетворення вводять ще дробові ступеня; в результаті виражається через в елементарних функціях.
Як показав Ліувілль, при всіх інших значеннях? рішення спеціального рівняння Риккати не може бути виражене квадратурами від елементарних функцій.
рівняння ріккаті має те спільна властивість із лінійними рівняннями, що знання деякого числа приватних рішень дозволяє знайти спільне рішення або привести його відшукання до квадратури. Дарбу досліджував широкий клас рівнянь, володіють тією властивістю, що, знаючи достатню кількість їх приватних рішень, можна отримати загальне рішення без квадратур або за допомогою однієї квадратури; це - так звані «рівняння Дарбу»; окремим випадком цього класу є рівняння Якобі.
Приклад 1.
Підстановка дає:
Далі,
і, нарешті,
Приклад 2.
Показник відповідає значенню отже, треба все підстановки вести в зворотному порядку. Для зручності порівняння з відповідними формулами позначимо вихідні змінні через Отже, маємо:
тут, тобто ?=0. Робимо заміну незалежної змінної: Отримуємо:
Переходячи до змінної, знаходимо:
Ми маємо Дозволяючи щодо формулу перетворення маємо:
Підставляємо в останнє рівняння:
або, спрощуючи,
Інтегруємо, розділяючи змінні:
Повертаємося поступово до первинних змінним:
і, нарешті,
§2. Відображає функція
Будемо розглядати систему
(2.1)
с безперервно диференціюється правою частиною. Тоді її рішення однозначно визначаються початковими даними. Загальне рішення цієї системи у формі Коші будемо позначати через. Зафіксуємо і розглянемо безліч всіх тих, для яких непродолжаемое рішення існує при всіх з проміжку. Знайдемо точну нижню грань цих. Інтервал існування рішення не вироджується в точку, і тому в силу теореми про інтегральної безперервності. Для таких покладемо
Визначення 1. Відбиває функцією системи (2.1) назвемо функцію визначається формулою
(2.2)
або, інакше, формулами
Для відбиває функції справедливі наступні властивості:
. Для будь-якого рішення системи (1) вірно тотожність
(2.3)
. Для відбиває функції будь-якої системи виконані тотожності
. (2.4)
. Диференціюється функція буде відбиває функцією системи (2.1), права частина якої неперервно диференційовна, тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє системі рівнянь в приватних похідних
(2.5)
і початковому умові
. (2.6)
. Нехай рішення системи (2.1) визначено принаймні на полуінтервале, а диференціюється функція, яка задовольняє основним співвідношенню (2.5 - 2. 6), визначена у всіх точках. Тоді це рішення визначено на інтервалі і при цьому при.
Рівняння (2.5) разом з умовою (2.6) будемо називати основним рівнянням (основним співвідношенням) для відбиває функції.
Доказ властивостей 1-3. Перше властивість випливає безпосередньо з визначення 1.
Для доказу другої властивості зауважимо, що згідно з першим властивості, для будь-якого рішення системи (2.1) вірні тотожності
З цих тотожностей, в силу того, що через кожну точку проходить деяке рішення системи (2.1), і слідують тотожності (2.4).
Приступимо до доказу третьої властивості. Нехай є відображає функція системи (2.1). Тоді для неї вірно тотожність (2.3). Продифференцируем це тотожність по і потім скористаємося тим, що - рішення системи (2.1), і самим тотожністю (2.3). Отримаємо тотожність
з якого, в силу довільності рішення, і слід, що є рішення системи (5). Початкова умова, згідно з другим властивості, також виконується.
Нехай тепер деяка функція задовольняє системі (2.5) і умові (2.6). Т. к. Цій системі і цій умові задовольняє також і відображає функція, то з єдиності рішення задачі (2.5-2.6) функція повинна збігатися з відображає функцією. Третя властивість доведено.
Доказ достатності можна провести і безпосередньо, не посилаючись на теореми про єдиності рішення задачі (2.5-2.6). Дійсно, нехай є рішення задачі (2.5-2.6). Тоді для будь-якого рішення системи (2.1) ми можемо визначити функцію для цієї функції вірно тотожність
т. е. є рішенням системи
з початковою умовою. Але функція також є рішенням цієї системи і задовольняє того ж початковому умові. Тому
де є відображає функція системи (2.1).
Звідси випливає, що для будь-якого рішення системи (2.1), визначеного при, ...
