r/>
Звідси
В
Нарешті, знаходимо похідну шуканої функції
В
Приклад 4. На основі дослідних даних побудовано математичну модель попиту населення на деякий товар в залежно від ціни:
.
Визначити еластичність попиту при (у умовних грошових один.).
Рішення. Еластичністю попиту називають межа відносини відносного збільшення попиту до відносного приросту ціни при:
.
Якщо> 1, то попит називають еластичним, при <1 - нееластичним, а при нейтральним.
Знайдемо похідну
. br/>
Тоді
.
Визначимо еластичність попиту при:. Таким чином, при такій ціні маємо нееластичний попит.
Правило Лопиталя. При знаходженні меж функцій (тема 1) невизначеності виду можна виключити, застосовуючи правило Лопіталя: межа відносини двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює межі відносини їх похідних, якщо останній існує, т. е.
В
Якщо (або), то правило Лопіталя можна використовувати вдруге, тобто br/>В
Загалом випадку правило Лопіталя можна застосовувати неодноразово.
Приклад 5. Знайти
В
Рішення. Для розкриття невизначеності застосуємо правило Лопіталя.
В
Невизначеність виду і раніше зберігається. Застосуємо правило Лопіталя ще раз:
В
Питання для самоперевірки
Дайте визначення похідної функції в точці.
Яка функція називається диференційованою в точці?
Назвіть найважливіші правила диференціювання.
Як знаходиться похідна складної функції?
Сформулюйте правило Лопіталя.
Завдання для самостійної роботи
Знайти похідні наступних функцій:
Таблиця 3.
Номер варіанта
А)
Б)
В)
1
y = (3x4-4x (-1/4) +2) 5
y = arccos2x + (1-4x2) 1/2
y = 2tgx + x sin (2x
2
y = (5x2 +4 x (5/4) +3) 3
y = arctg (x2-1) 1/2
y = e3x-2x tg (3x)
3
y = (0.25x8 +8 x (3/8) -1) 3
y = arccos (1-x2) 1/2
y = 3cosx-x sin (2x)
4
y = (0.2x5-3x (4/3) -4) 4
y = arctg (x-1) 1/2
В
5
y = (3x8 +5 x (2/5) -3) 5
y = arctg (2/(x-3))
В
6
y = (5x4-2x (-3/2) +3) 4
y = arccos (1-x) 1/2
В
7
y = (4x3 +3 x (-4/3) -2) 5
y = arcctg (x-1) 1/2
В
8
y = (7x5-3x (5/3) -6) 4
y = arcsin3x-(1-9x2) 1/2
y = etgx-x1/2 cos (2x).
9
y = (3x4-4x (-1/4) -3) 5
y = arctg (1/(x-1))
y = x tg3x +2 x-2
10
y = (8x3-9x (-7/3) +6) 5
y = arcsin ((1-x) 1/2)
В
Тема 3. Застосування диференціала функції в наближених обчисленнях
Диференціалом функції в точці називається головна, лінійна щодо збільшення аргументу частина приросту функції, що дорівнює добутку похідної функції в точці на прирощення незалежної змінної:
.
Звідси приріст функції відрізняється від її диференціала на нескінченно малу величину і при досить малих значеннях можна вважати або
.
Наведена формула використовується в наближених обчисленнях.
Приклад. Обчислити наближено
Рішення. Розглянемо функцію. Це статечна функція і її похідна знайдеться:
В
В якості потрібно взяти число, задовольняє умовам:
- значення відомо або достатньо просто обчислюється;
- число повинне бути близьким до числа 33,2, тобто прирощення повинно бути якомога менше.
У нашому випадку цим вимогам задовольняє число = 32, для якого = 2, = 33,2 -32 = 1,2.
Застосовуючи формулу, знаходимо шукане число:
+.
Питання для самоперевірки
1. Дайте визначення диференціала ...
