в певному порядку.
) Базисом на площині називаються будь-які 2 неколінеарна вектори, взяті в певному порядку.
) Базисом на прямій називається будь-який ненульовий вектор.
Визначення. Якщо - базис в просторі і, то числа a, b і g - називаються компонентами або координатами вектора в цьому базисі. p> У зв'язку з цим можна записати наступні характеристики:
рівні вектори мають однакові координати,
при множенні вектора на число його компоненти теж множаться на це число,
=
при додаванні векторів складаються їхні відповідні компоненти.
;;
+ =.
Лінійна залежність векторів
Визначення. Вектори називаються лінійно залежними, якщо існує така лінійна комбінація, при не рівних нулю одночасно ai, тобто . p> Якщо ж тільки при ai = 0 виконується, то вектори називаються лінійно незалежними.
Властивість 1. Якщо серед векторів є нульовий вектор, то ці вектори лінійно залежні. p> Властивість 2. Якщо до системи лінійно залежних векторів додати один або кілька векторів, то отримана система теж буде лінійно залежна. p> Властивість 3. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли один з векторів розкладається в лінійну комбінацію інших векторів. p> Властивість 4. Будь-які 2 колінеарних вектори лінійно залежні і, навпаки, будь-які 2 лінійно залежні вектори колінеарні. p> Властивість 5. Будь-які 3 компланарних вектори лінійно залежні і, навпаки, будь-які 3 лінійно залежні вектори компланарні. p> Властивість 6. Будь-які 4 вектори лінійно залежні. br/>
2.2 Система координат
Для визначення положення довільної точки можуть використовуватися різні системи координат. Положення довільної точки у який-або системі координат має однозначно визначатися. Поняття системи координат являє собою сукупність точки початку відліку (початку координат) і деякого базису. Як на площині, так і у просторі можливо завдання найрізноманітніших систем координат. Вибір системи координат залежить від характеру поставленої геометричній, фізичної або технічної задачі. Розглянемо деякі найбільш часто застосовуються на практиці системи координат. p> Декартова система координат
Зафіксуємо в просторі точку О і розглянемо довільну точку М.
Вектор назвемо радіус-вектором точки М. Якщо в просторі задати деякий базис, то точці М можна зіставити деяку трійку чисел - компоненти її радіус-вектора.
Визначення. Декартовой системою координат у просторі називається сукупність точки і базису. Точка називається початком координат. Прямі, що проходять через початок координат називаються осями координат. p>-я вісь - вісь абсцис
-я вісь - вісь ординат
-я вісь - вісь аплікат
Щоб знайти компоненти вектора потрібно з координат його кінця відняти координати початку.
Якщо задані точки А (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2), то = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
Визначення. Базис називається ортонормированного, якщо його вектори попарно ортогональні і рівні одиниці. p> Визначення. Декартова система координат, базис якої ортонормированного називається декартовій прямокутній системою координат. p> Приклад. Дано вектори (1, 2, 3), (-1, 0, 3), (2; 1; -1) і (3; 2, 2) в деякому базисі. Показати, що вектори, та утворюють базис та знайти координати вектора в цьому базисі. p> Вектори утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, іншими словами, якщо рівняння, що входять в систему:
В
лінійно незалежні.
Тоді.
Ця умова виконується, якщо визначник матриці системи відмінний від нуля.
В
Для вирішення цієї системи скористаємося методом Крамера.
D1 =
;
D2 =
В
D3 =
В
Разом, координати вектора в базисі,,: {-1/4, 7/4, 5/2}.
2.3 Рівняння поверхні в просторі
Визначення. Будь-яке рівняння, що зв'язує координати x, y, z будь-якої точки поверхні є рівнянням цієї поверхні. br/>
2.3.1 Загальне рівняння площини
Визначення. Площиною називається поверхня, всі точки якої задовольняють загальним рівнянням:
Ax + By + Cz + D = 0,
де А, В, С - координати вектора
В
вектор нормалі до площини. Можливі такі окремі випадки:
А = 0 - площина паралельна осі Ох
В = 0 - площина паралельна осі Оу
С = 0 - площина паралельна осі Оz
D = 0 - площина проходить через початок координат
А = В = 0 - площина паралельна площині хОу
А = С = 0 - площина паралельна площині хОz
В = С = 0 - площина паралельна площині yOz
А = D = 0 - площина проходить через вісь Ох
В = D = 0 - площина проходить через вісь Оу
С = D = 0 - площина проходить через вісь Oz
А = В = D = 0 - площ...
