ина збігається з площиною хОу
А = С = D = 0 - площина збігається з площиною xOz
В = С = D = 0 - площина збігається з площиною yOz
2.3.2 Рівняння площини, що проходить через три точки
Для того, щоб через три які-або точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій. Розглянемо точки М1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3) у загальній декартовій системі координат. Для того, щоб довільна точка М (x, y, z) лежала в одній площині з точками М1, М2, М3 необхідно, щоб вектори були компланарні. br/>
() = 0
Таким чином,
В
Рівняння площини, що проходить через три точки:
В
2.3.3 Рівняння площини по двох точках і вектору, коллинеарности площині
Нехай задані точки М1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2) і вектор.
Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М1 і М2 і довільну точку М (х, у, z) паралельно вектору.
Вектори і вектор повинні бути компланарні, тобто
() = 0
Рівняння площини:
В
2.3.4 Рівняння площини по одній точці і двох векторах, колінеарним площині
Нехай задані два вектори і, колінеарні площині. Тоді для довільної точки М (х, у, z), що належить площині, вектори повинні бути компланарні. Рівняння площини:
В
2.3.4 Рівняння площини по точці і вектору нормалі
Теорема. Якщо в просторі задана точка М0 (х0, у0, z0), то рівняння площини, що проходить через точку М0 перпендикулярно вектору нормалі (A, B, C) має вигляд:
A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0.
Доказ. Для довільної точки М (х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Т.к. вектор - вектор нормалі, то він перпендикулярний площині, а, отже, перпендикулярний й вектору. Тоді скалярний твір
Г— = 0
Таким чином, отримуємо рівняння площини
В
Теорема доведена.
2.3.5 Рівняння площини у відрізках
Якщо в загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на (-D), замінивши, отримаємо рівняння площини у відрізках:
В
Числа a, b, c є точками перетину площини за осями х, у, z.
2.3.6 Рівняння площини в векторній формі
В
де
- радіус-вектор поточної точки М (х, у, z),
- одиничний вектор, що має напрям, перпендикуляра, опущеного на площину з початку координат.
a, b і g - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.
p - довжина цього перпендикуляра. У координатах це рівняння має вигляд:
х cosa + y cosb + z cosg - p = 0.
2.3.7 Відстань від точки до площини
Відстань від довільної точки М0 (х0, у0, z0) до площини Ах + Ву + Сz + D = 0 дорівнює:
В
Приклад. Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р (4; -3; 12) - підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину. br/>В
Таким чином, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, скористаємося формулою:
A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0.
В В
Приклад. Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки P (2, 0, -1) і
Q (1; -1; 3) перпендикулярно площині 3х + 2у - z + 5 = 0.
Вектор нормалі до площини 3х + 2у - z + 5 = 0 паралельний шуканої площини.
Одержуємо:
В
Приклад. Знайти рівняння площини, що проходить через точки А (2, -1, 4) і В (3, 2, -1) перпендикулярно площині х + у + 2z - 3 = 0. p> Искомое рівняння площини має вигляд: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормалі до цієї площини (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) належить площині. Задана нам площину, перпендикулярна шуканої має вектор нормалі (1, 1, 2). Т.к. точки А і В належать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, то
В
Таким чином, вектор нормалі (11, -7, -2). Т.к. точка А належить шуканої площини, то її координати повинні задовольняти рівнянню цій площині, тобто 11 Г— 2 + 7 Г— 1 - 2 Г— 4 + D = 0; D = -21. p align="justify"> Разом, отримуємо рівняння площині:
x - 7y - 2z - 21 = 0.
Приклад. Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р (4, -3, 12) - підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину. p> Знаходимо координати вектора нормалі = (4, -3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд:
x - 3y + 12z + D = 0. br/>
Для знаходження коефіцієнта D підставимо в рівняння координати точки Р:
+ 9 + 144 + D = 0
D = -169
Разом, отримуємо дані рівняння:
x - 3y + 12z - 169 = 0
Приклад. Дано координати вершин піраміди А1 (1, 0, 3), A2 (2; 1; 3), A3 (2; 1; 1), A4 (1, 2, 5). ol>
Знайти довжину ребра А1А2.
...
