звідси отримуємо
В
. br/>
Четверте доказ (9 клас).
ВМ = НД + СА + АМ = НД + СА +
В
Отже, точка М лежить на медіані .
П'яте доказ (9 клас).
Знову розглянемо точку В ' перетину прямих ВМ і АС (рис. 3). Застосовуючи теорему синусів спочатку до трикутниками АВ'В і СВ'В, а потім - до трикутниками АВМ і ВМ і враховуючи, що sin AB ' B = sin CB ' B , sin AMB = = sin MB , BC = 2B і МА = 2M, отримаємо
. p> Шосте доказ (10 клас).
Проведемо через точки А і В площину а, що не містить С, і побудуємо в цій площині правильний трикутник ABC (рис. 5). Із загальних властивостей паралельної проекції випливає, що паралельна проекція вздовж прямої З переводить трикутник АВС в трикутник АВ, причому медіани трикутника ABC проектуються в медіани трикутника AB . Але в правильному трикутнику медіани є і биссектрисами, а отже, перетинаються в одній точці. Легко довести також (докажіте!), що для трикутника AB справедливі рівності (1).
Звідси випливає, що наша теорема вірна і для трикутника АВС.
Згадаємо ще одне, бути може, саме просте і природне доказ теореми про Медіану: якщо помістити в вершини трикутника рівні маси і по черзі групувати їх парами, ми отримаємо, що центр всіх трьох мас лежить на кожній з медиан. Центр системи рівних мас, поміщених до деяких точки, називається центроїдом цього набору точок, тому й точку перетину медіан трикутника часто називають його центроїдом. p> Висновок
Виходячи з зробленого можна зробити наступні висновки:
1. Одну теорему можна довести різними способами. Це набагато корисніше. Адже її можна вивчити з різних сторін, використовуючи різні методи і теми курсу 8-10 класів.
2. Медіана була вивчена багатьма вченими, але особливий внесок у її розвиток вніс німецький вчений Г. Лейбніц. Він виявив чудовий факт: сума квадратів відстаней від довільної точки площині до вершин трикутника, що лежить у цій площині, дорівнює сумі квадратів відстаней від точки перетину медіан до його вершин, складеної з потроєною квадратом відстані від точки перетину медіан до вибраної точки.
З цієї теореми випливає, що точка на площині для якої сума квадратів відстаней до вершин даного трикутника є мінімальною, - це точка перетину медиан цього трикутника.
3. Медіани використовуються не тільки в геометрії, а й у фізиці, і в статичній математики. Для обчислення середнього арифметичного та ін
Список використаних джерел та літератури
В
1. І.Л. Нікольська. Факультативний курс з математики. Навчальний посібник для 7-9 класів середньої школи. Москва "Просвещение" 1991 г. с. 92-93. p> 2. Т.Л. Рибакова, І.В. Суслова. Шкільний довідник "МАТЕМАТИКА". Ярославль "Академія розвитку" 1997 м. с. 113. p> 3. Щомісячний науково-популярний фізико-математичний журнал Академії наук СРСР і Академії педагогічних наук літератури. "Квант № 7 1990 р. з. 40. p> 4. Щомісячний науково-популярний фізико-математичний журнал Академії наук СРСР і Академії педагогічних наук літератури. "Квант № 1 1990 р. з. 54. p> Додаток
1. Доведіть, що точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень її бічних сторін і середини підстав лежать на одній прямій. Вивести звідси теорему про Медіану.
2. Дан трикутник ABC . Вкажіть всі такі точки P , що S PAB = S PBC = S PCA .
3. Кожна з вершин п'ятикутника з'єднана з серединою противолежащей сторони. Доведіть, що якщо чотири з отриманих прямих перетинаються в одній точці, то і п'ята пряма проходить через цю точку.
4. Через кожне з ребер тригранного кута і бісектрису протилежної плоского кута проведена площину. Доведіть, що три отримані площині мають загальну пряму. p> 5. Точки A 1 , B 1 , C 1 лежать відповідно на сторонах BC , CA і AB трикутника ABC . Відомо, що відрізки AA 1 , BB 1 , CC 1 перетинаються в точці P , причому
В
Доведіть, що P - центроид трикутника ABC .
